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Chapitre 4 sous variete UMBB Faculté des sciences LM Chapitre Année universitaire Dépt de mathématiques Module Géométrie di érentielle Sous Variétés de Rn La notion de sous variété Dans cette partie E est un espace vectoriel de dimension n Le concept de s

UMBB Faculté des sciences LM Chapitre Année universitaire Dépt de mathématiques Module Géométrie di érentielle Sous Variétés de Rn La notion de sous variété Dans cette partie E est un espace vectoriel de dimension n Le concept de sous-variété de E généralise celui de courbe ou de surface Il s ? agit de partie de E qu ? on peut l ? écrire localement par des bonnes équations On va donner quatre dé ? nition équivalentes de sous- variétés de E Dé ? nition A E une partie de E s ? appelle sous-espace a ne de E si elle est l ? image d ? un sous-espace vectoriel de E par une translation Soit A un sous-espace a ne de E Si a un point de A le sous espace vectoriel F est l ? image réciproque de A par translation x x a On l ? appelle l ? espace tangent à A La dimension de cet espace tangent est par dé ? nition la dimension de A Exemple Soit G un autre espace vectoriel de dimension p Soit f E G une application linéaire et b un point de G alors l ? ensemble A f b est s ? il n ? est pas vide un sous espace a ne de E d espace tangent ker f Dé ? nition Soit M une partie de E On dit que M est une sous variété de classe Cr de E si pour tout point a M il existe un voisinage ouvert U de a dans E et un di éomorphisme U U E tel que M U soit la trace sur U d ? un espace a ne A de E c-à-d M U U U En e et on peut composer par une translation supposer que A contient ce qui signi ? e alors que A un sous espace vectoriel de E On peut alors trouver une base ei i m de Aqu ? on complète pour obtenir une base ei i n de E On designe par i i n les composantes dans cette base Alors dans l ? ouvert U de E l ? intersection M U est dé ? nie par les équations m m m n Remarquons que la di érentielle de l ? application m m m n est surjective en tout point de a sous variété dé ? nie par submersion COn verra plus tard que si M peut être dé ? nie localement par de telles équations alors M est une sous-variété de E IL résulte de la dé ? nition une sous variété de E est localement fermée dans E l ? intersection d ? un ouvert et d ? un fermé Les ouverts de E sont des cas particuliers de sous variété deE Dé ? nition équivalente soit E R espace vectoriel de dimension n Une partie M de E est une sous variété de dimension k de classe Cp de E si et seulement si pour