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M pt com jmf 04 pdf Proble mes de Mathe ?matiques Homographies du plan complexe E ? nonc ?e Homographies du plan complexe Notations ?? On note C C ?? ? l ? ensemble obtenu en ajoutant a C un pointa l ? in ?ni Pour tout z de C ? on pose par convention z ?

Proble mes de Mathe ?matiques Homographies du plan complexe E ? nonc ?e Homographies du plan complexe Notations ?? On note C C ?? ? l ? ensemble obtenu en ajoutant a C un pointa l ? in ?ni Pour tout z de C ? on pose par convention z ? ?? Pour tout quadruplet v a b c d de C on note ? v ad ?? bc On note E v a b c d ?? C ? v A tout ?el ?ement v de E on associe l ? application hv de C dans lui-m eme d ?e ?nie par az b ??z ?? C ??d c hv z cz d hv ??d c ? hv ? a c Remarque la convention z ? permet d ? inclure le cas c dans la d ?e ?nition de hv az b Plus pr ?ecis ?ement si c donc a et d ??z ?? C hv z d et hv ? ? ?? On note H hv v ?? E Les ?el ?ements de H sont appel ?ees homographies de C ?? Pour tout a b de C ? ? C on note sa b ha b On note S sa b a ?? C ? b ?? C L ? application sa b est donc d ?e ?nie par sa b z az b si z ?? C et sa b ? ? Les ?el ?ements de S sont appel ?es similitudes directes de C ?? On considere le plan euclidien orient ?e muni d ? un repere orthonorm ?e direct On identi ?e tout point M de ce plan avec son a ?xe z de C Cette identi ?cation permet de parler des cercles et des droites de C ?? Une droite de C est la r ?eunion ? ? ?? ? ou ? est une droite de C On dit qu ? une partie de C est un cercle de C si c ? est un cercle de C ou une droite de C Les droites de C sont donc les cercles de C qui contiennent le pointa l ? in ?ni Remarque on considere dans ce probleme que les cercles ont un rayon strictement positif ?? On note C l ? ensemble dont les ?el ?ements sont les cercles de C I Le groupe des homographies Soient u un ?el ?ement de E V ?eri ?er que h ?u hu pour tout ? de C ? On admettra que la r ?eciproque est vraie Ainsi hu hv ?? ?? ? ?? C ? v ?u Identi ?er l ? application hu quand u S Soient u a b c d et v a b c d deux ?el ?ements de E V ?eri ?er que u ? v aa bc ab bd ca dc cb dd est un ?el ?ement de E Montrer que hu hv hu ? v on pourra se limiter au cas g ?en ?eral S Montrer que toute homographie hv est