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antilles guyane exo3 Antilles Guyane Enseignement spéci ?que EXERCICE points commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f dé ?nie pour tout réel x par f x xe ??x Calculer la limite de la fonction f en ? e x Indication on pourra utiliser

Antilles Guyane Enseignement spéci ?que EXERCICE points commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f dé ?nie pour tout réel x par f x xe ??x Calculer la limite de la fonction f en ? e x Indication on pourra utiliser que pour tout réel x di ?érent de f x x ? ex On admettra que la limite de la fonction f en ?? ? est égale à a On admet que f est dérivable sur R et on note f ?? sa dérivée Démontrer que pour tout réel x f ?? x ?? x e ??x b En déduire le tableau de variations de la fonction f Partie B On considère la fonction g dé ?nie pour tout réel x par g x e ??x Sur le graphique ci-dessous on a tracé dans un repère les courbes représentatives Cf et Cg respectivement des fonctions f et g Cg ?? ?? ?? ?? ?? ?? Cf ?? ?? Le but de cette partie est d ? étudier la position relative de ces deux courbes Après observation du graphique quelle conjecture peut-on émettre Justi ?er que pour tout réel x appartenant à ?? ? f x g x Dans cette question on se place dans l ? intervalle ? On pose pour tout réel x strictement positif x ln x ?? x x a Montrer que pour tout réel x strictement positif f x g x équivaut à x On admet pour la suite que f x g x équivaut à x b On admet que la fonction est dérivable sur ? Dresser le tableau de variation de la fonction Les limites en et ? ne sont pas attendues http www maths-france fr ? c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés Cc En déduire que pour tout réel x strictement positif x a La conjecture émise à la question de la partie B est-elle valide b Montrer que Cf et Cg ont un unique point commun noté A c Montrer qu ? en ce point A ces deux courbes ont la même tangente Partie C Trouver une primitive F de la fonction f sur R En déduire la valeur de e ??x ?? xe ??x dx Interpréter graphiquement ce résultat http www maths-france fr ? c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés CAntilles Guyane Enseignement spéci ?que EXERCICE corrigé Partie A Soit x un réel non nul f x xe ??x x ? e ? e ??x x x ? e? ex e x ? x ex Déjà lim e x ? ? x Ensuite d ? après un théorème de croissances comparées lim ex x ? ? x eX lim X ? ? X ? Par passage à l ? inverse on obtient x lim x ? ? ex En multipliant on obtient ?nalement lim f x ? x ? ? lim f x x ? ? a Pour tout réel x f ?? x ? e ??x x ? ?? x e ??x e ??x ??