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trigonometrie reciproque corrige 1

Planche no Fonctions circulaires réciproques corrigé Exercice no Arcsin x existe si et seulement si x est dans ?? Donc sin Arcsin x existe si et seulement si x est dans ?? et pour tout x de ?? sin Arcsin x x Arcsin sin x existe pour ? S ? il existe un entier relatif tout réel x mais k tel que ?? ? ne vaut k ? x x que si x est dans ? k ? alors ?? ?? ? ? ? x ?? k ? ? et donc Arcsin sin x Arcsin sin x ?? k ? x ?? k ? De plus on a k x k et donc k E x puis ? ? Arcsin sin x x ?? ? E x ? ? S ? il existe un entier relatif k tel que ? k ? x ? k ? alors ?? ? ? ??x k ? ? et donc ? ? Arcsin sin x Arcsin sin ? ?? x k ? ? ?? x k ? De plus k x ? ?? et donc k E x ?? ? puis Arcsin sin x ? ?? x ? E x ?? ? Arccos x existe si et seulement si x est dans ?? Donc cos Arccos x existe si et seulement si x est dans ?? et pour tout x dans ?? cos Arccos x x Arccos cos x existe pour tout réel x mais ne vaut x que si x est dans ? ? S ? il existe un entier relatif k tel que k ? x ? k ? alors Arccos cos x x ?? k ? avec k E x ? ? S ? il existe un entier relatif k tel que ?? ? k ? k E x ? ? x k ? alors Arccos cos x Arccos cos k ? ?? x k ? ?? x avec Pour tout réel x tan Arctan x x Arctan tan x existe si et seulement si x n ? est pas dans ? ?Z et pour ces x il existe un entier relatif k tel que ?? ? k ? x ? k ? ? ? Dans ce cas Arctan tan x Arctan tan x ?? k ? x ?? k ? avec k E x ? Exercice no ère solution Posons f x Arccos x Arcsin x pour x dans ?? f est dé ?nie et continue sur ?? dérivable sur ?? De plus pour x dans ?? f ?? x ?? ?? ?? ?? x ?? x Donc f est constante sur ?? puis sur ?? par continuité de f en ?? et en Pour tout x de ?? f x f ? ??x ?? ?? Arccos x Arcsin x ? ème solution Il existe un unique réel dans ? tel que x cos à savoir Arccos x Mais alors Arccos x Arcsin x Arccos cos Arcsin sin ? ?? ? ?? ? Arccos cos car ?? ? et Arcsin