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Ts ds2 2009 2010 NOM Prénom Classe DEVOIR SURVEILLE N ? Le MATHEMATIQUES Série S Enseignement obligatoire Durée de l ? épreuve heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur Le sujet est composé de exercic

NOM Prénom Classe DEVOIR SURVEILLE N ? Le MATHEMATIQUES Série S Enseignement obligatoire Durée de l ? épreuve heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur Le sujet est composé de exercices indépendants Le candidat doit traiter tous les exercices Le candidat est invité à faire ?gurer sur la copie toute trace de recherche même incomplète ou non fructueuse qu ? il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies Le sujet est à rendre avec la copie CExercice points Soit la suite un dé ?nie par u et pour tout n ?? N un un un -Partie A Etude graphique et conjectures- Soit f la fonction dé ?nie sur ? associée à la suite un On donne ci- dessous sa courbe représentative Cf Donner l ? expression de f x en fonction de x Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur ? En utilisant le graphique ci-dessous placer les points A A A et A d ? ordonnée nulle et d ? abscisses respectives u u u et u puis donner une valeur approchée de chacun de ces termes Que suggère le graphique concernant le sens de variation de un et sa convergence y y x Cf x O -Partie B Démonstrations des conjectures Montrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout n ?? N un a Calculer u u et u b La suite un est-elle arithmétique géométrique Justi ?er Déterminer le sens de variation de la suite un On pose pour tout entier n vn un a Calculer v v et v Quelle semble être la nature de la suite b Démontrer cette conjecture Exprimer vn en fonction de n En déduire l ? expression de un en fonction de n Déterminer lim n ? ? un CExercice points Partie A Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z x iy un nombre complexe ? Le module d ? un nombre complexe est donné par z x y ? Le conjugué d ? un produit est égal au produit des conjugués Montrer que z zz o? z est le conjugué de z Montrer que pour tous nombres complexes z et z z ? z z ? z On pouura utiliser le résultat précédent Partie B Le plan complexe est muni d ? un repère orthonormal direct Soit M et M ? deux points d ? a ?xes respectives z x iy et z ?? x ?? iy ?? On pose z z ?? z z ?? z z ?? a Montrer que i ?? i b Calculer i i sous forme algébrique a Exprimer z z ?? sous forme algébrique en fonction de x x ?? y et y ?? b En déduire que pour tout couple z z ?? le nombre z z ?? est réel ? ? ? ? a Exprimer z z