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Td6 trigo et jordan algebre 18 19 1

Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences et Techniques Département de Mathématique et Informatique L TDSI Math-Crypto - Mr SALL Dr Ndiaye sallm yahoo com ouzdeville gmali com Trigonalisation et Jordanalisation SERIE F EB F F F ED F F ?? Exercice Trigonaliser la matrice suivante A ?? ?? Exercice F EB F F ?? F ED F F Considérons la matrice suivante dans M R A ?? Calculer le polynôme caractéristique PA x de A Justi ?er que la matrice A est trigonalisable Trigonaliser A Exercice F EB F F F EB F F ?? ?? ? F ED F F F ED Soient les matrices A ?? ?? F F ? ?? Calculer les polynômes caractéristiques et minimaux de A et B Les matrices A et B sont-elles semblables Calculer An en fonction de A et n Calculer etA pour tout t ?? R Exercice F EB ?? Soient ?? R etla matrice suivante A F ED ?? ?? F F F F Factoriser le polynôme caractéristique PA x en produit de facteurs du premier degré Déterminer selon la valeur du paramètre les valeurs propres distinctes de A et leur multiplicité Déterminer les valeurs de pour lesquelles la matrice A est diagonalisable Déterminer selon la valeur de le polynôme minimal de A On suppose que on note A A et l ? endomorphisme de R associé à la matrice A a Déterminer les sous-espaces propres et caract istiques de A b Démontrer que le sous-espace vectoriel ker A I est un plan stable par f F EB F F Exercice Soit la matrice F ECF EC F ED B F F F F F F Montrer que B possède une seul valeur propre ? que l ? on calculera Soit C B ?? ?I a Montrer que C est nilpotente b Jordanaliser C c ? est à dire déterminer la matrice inversible P qui met C sous la forme réduite de Jordan J c Montrer que B et J ?I sont semblables J est la forme réduite de Jordan de C C F EB F F Exercice ?? Soit F ECF EC F ED A ?? ?? ?? F F F F F F ?? ?? Déterminer les valeurs propres de A Déterminer les sous espaces propres de A et leurs dimensions Déterminer les sous espaces caractéristiques de A Jordanaliser A Exercice Soit ?? x U y l ? endomorphisme de R ?? R U x y x cos ? n dé ?ni pa ??r ?? x y sin ? n y cos ? n y ?? x sin ? n o? n est un entier naturel non nul Exprime U U U en fonction de U et IdR Indication Calculer le polynôme caractéristique de U et appliquer le théorème de Caley- Hamilton Calculer U k pour tout k ? Exercice Soit E un espace vectoriel de dimension Soit u un endomorphisme nilpotent de E a Montrer que le polynôme caractéristique de u est Pu x