Td2 corrige Algèbre Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Td Formes bilinéaires Semestre Exercice Dans E R muni de sa base canonique B e e e on considère l ? application b E ? R dé ?nie par b x x x y y y x y x y ?? x y Justi ?

Algèbre Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Td Formes bilinéaires Semestre Exercice Dans E R muni de sa base canonique B e e e on considère l ? application b E ? R dé ?nie par b x x x y y y x y x y ?? x y Justi ?er que b est une forme bilinéaire sur E Déterminer la matrice B représentant b dans B b est-elle symétrique antisymétrique Déterminer la partie symétrique b et la partie antisy- métrique b de b Déterminer le rang de b Mêmes questions avec b x x x y y y x y x y x y ?? x y ?? x y Solution On voit que b x x x y y y e ? ? e ? e ? ? e ? ?? e ? ? e ? De plus les applications de la forme ei ? ? e ? j sont des formes bilinéaires et l ? ensemble des formes bilinéaires forme un espace vectoriel Ainsi b est bien une forme bilinéaire F EB F F F ED On rappelle que B b ei ej ? i j ? On trouve donc B F F ?? La matrice B est symétrique la forme b est donc aussi symétrique La décomposition de b sous la forme b b o? b est la partie symétrique et b est la partie antisymétrique est donc b La matrice B est clairement de rang donc b est de rang On considère maintenant l ? application b x x x y y y x y x y x y ?? x y ?? x y On voit que b x x x y y y e ? ? e ? e ? ? e ? e ? ? e ? ?? e ? ? e ? ?? e ? ? e ? et donc b est une forme bilinéaire puisque b est une combinaison linéaire de formes bilinéaires On trouve F EB F F F ED F F B ?? ?? La matrice représentative de b est B B tB et celle de b est B B ?? tB soit F EB F F F EB F F F ED F F F ED F F B et B ?? ?? COn a donc b x x x y y y x y x y x y b x x x y y y x y ?? x y Le rang de b est le rang de la matrice B On a ?? ? ?? ? ?? ?? L ?L ?? ?? L L L ?? et donc b est de rang Exercice Soit b la forme bilinéaire sur E R dont la matrice F EB F F F ED représentative dans la base canonique B e e e est B F F ?? b est-elle symétrique antisymétrique Quel est son rang Pour tout u v ?? E déterminer b u v Justi ?er que la famille B e e e ??e

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