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Sciences de l’ingénieur Première SSI : Calcul de résistances équivalentes et lo

Sciences de l’ingénieur Première SSI : Calcul de résistances équivalentes et loi d’Ohm Consignes générales : Ce sujet est composé de quatre parties indépendantes. A l’intérieur de chaque partie de nombreuses questions sont indépendantes, par conséquent une lecture attentive de l’ensemble du sujet s’avère nécessaire avant de commencer à composer. Vous devez impérativement respecter les notations du sujet, présenter clairement vos calculs et encadrer les résultats. Le passage d’une forme littérale à son application numérique se fera dans le respect de la position de chaque grandeur exprimée. Le résultat numérique sera donné avec son unité. Mise en situation et problématique : Cet exercice met en évidence les problèmes liés à l’alimentation d’un train électrique mu par un moteur à courant continu. Aucune connaissance relative au moteur à courant continu n’est requise pour sa résolution. On rappelle qu’un fil ou câble de longueur L et de section S réalisé avec un matériau conducteur de résistivité  oppose une résistance au passage du courant électrique liée à ses différents paramètres par la relation suivante : S xL R c   Un train d’une puissance de 1.5 MW est alimenté par une voie électrifiée composée de câbles en cuivre de section S = 450 mm2 et de résistivité c = 22.5x10-3 .mm2.m-1. Par conséquent on peut écrire q’une ligne de longueur L présente une résistance R qui s’exprime par la relation suivante : R = .L avec  = 50.10-6 .m-1. Le moteur fonctionne pour une tension U supérieure ou égale à 1425 Volts et E = 1500 V. On cherche à déterminer pour différentes configurations d’alimentation la distance maximale que peut parcourir le train sous une tension U 1425 V. Dans toute la suite, la résistance des rails est négligée. On tient compte exclusivement des résistances de la caténaire(+). L’ensemble moteur-train est assimilé à un récepteur de courant constant I0 constant en toute circonstance et égal à 1000 A. Lycée Belair de Sainte-Suzanne 1/4 Evaluation : Résistance équivalente et loi d’ohm Thème : voie d’électrification d’un train Durée allouée : 2 heures Sciences de l’ingénieur Première SSI : Calcul de résistances équivalentes et loi d’Ohm Partie 1. Première configuration d’électrification : On note d la longueur de caténaire (câble) séparant la motrice de la sous-station d’alimentation E. d est donc une variable car le train est en mouvement. Exprimer la chute de tension notée U dans le câble entre la sous-station E et le train en fonction de R1 et I0, puis en déduire la distance maximale D que peut parcourir ce train. Pour ce faire on tient compte du schéma électrique suivant : Partie2 : Seconde configuration : Schéma équivalent : Lycée Belair de Sainte-Suzanne 2/4 Moteur+ train Caténaire (+) Rail (-) Distance D d E U E I0 R1 R2 U Moteur+ train Mise en court-circuit (des 2 cotés) des 2 câbles identiques. La résistance du court-circuit est nulle. Distance D E d Sciences de l’ingénieur Première SSI : Calcul de résistances équivalentes et loi d’Ohm 2.1 Exprimer R1 = f(  et d). 2.2 Exprimer R2 = f( , D et d). 2.3 Exprimer R3 = f(  et D). 2.4 Exprimer la résistance équivalente entre les points A et B notée RAB en fonction de R1 , R2 et R3. En déduire l’expression de U = f ( , d,D et I0 ). 2.5 On pose d = .D avec 0    1. Montrer alors que    ). 2 .( 2 . . 0    D I U Représenter la fonction y() =(2-).. En déduire l’expression de la chute de tension maximale puis calculer la distance maximale D que peut parcourir le train. Partie 3 : troisième configuration : On dispose toutes les distances D des sous-stations d’alimentation E. Ce qui conduit au schéma équivalent suivant : 3.1 Exprimer la tension U1 aux bornes de R1 en fonction de E et U. 3.2 Exprimer la tension U2 aux bornes de R2 en fonction de E et U. 3.3 En déduire comment sont connectées les résistances R1 et R2 ( série ou parallèle) . Exprimer alors la résistance équivalente entre les points A et B notée RAB. Lycée Belair de Sainte-Suzanne 3/4 E R1 R2 R3 U U B A E E I0 R1 R2 I1 I2 U A B Moteur+ train Caténaire (+) Rail (-) Distance D E E d Sciences de l’ingénieur Première SSI : Calcul de résistances équivalentes et loi d’Ohm 3.4 En posant d = .D avec 0    1 montrer que U = .I0.D.(1-) Représenter f() = (1-) pour quelle valeur de  la fonction f est maximale. En déduire la distance maximale D que peut parcourir le train. Partie 4 : Quatrième configuration, amélioration de l’ alimentation : Schéma équivalent : 4.1 Préciser la relation entre R5, R6 et R3. 4.2 On note R la résistance qui s’exprime par la relation suivante : 2 . D R   Exprimer la résistance équivalente à R6 et R3 notée Re1. 4.3 Exprimer la résistance équivalente à Re1 et R5 notée Re2. 4.4 Exprimer la résistance équivalente à Re2 et R2 notée Re3. 4.5 Exprimer la résistance équivalente à Re3 et R1 notée Re4. 4.6 Montrer alors que    ). . 3 2 .( 2 . . 0    D I U en posant d = .D avec 0    0.5. Remarque : l’étude est restreinte pour  variant de 0 à 0.5 car il existe une symétrie axée sur D/2. La courbe peut-être obtenue sur l’intervalle [0.5 ; 1] par symétrie . 4.7 Représenter g(y) = (2-3.). pour 0    1. En déduire pour quelle valeur de  g est maximale. Calculer la distance maximale D que peut parcourir le train. Lycée Belair de Sainte-Suzanne 4/4 Caténaire (+) E Moteur+ train Rail (-) Distance D/2 E Distance D/2 d B A R3 E I2 E I0 R1 I1 U R2 R5 R6 U’ uploads/Voyage/ td-resistance-equivalentes.pdf