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Exercices Alternatifs Class´ es par angle p´ edagogique. 9 mars 2007 R´ esum´ e

Exercices Alternatifs Class´ es par angle p´ edagogique. 9 mars 2007 R´ esum´ e Les exercices de maths actuellement propos´ es aux ´ etudiants en DEUG accordent une place dis- proportionn´ ee ` a l’aspect technique. Mais les exercices “alternatifs” sont diﬃciles ` a trouver ou ` a concevoir. La base de donn´ ee EXEMAALT veut mettre ` a la disposition de tous les enseignants les eﬀorts de chacun. Nous sugg´ erons l’adoption de la “r` egle” suivante, qui obligerait ` a un renouvel- lement minimal mais constant : chaque feuille d’exercices qu’un enseignant propose aux ´ etudiants doit comporter au moins un exercice invent´ e (ou en tout cas largement reformul´ e) par l’enseignant. ENVOYEZ-NOUS VOS EXERCICES !1 Ce recueil d’exercices est disponible sur le Web, sous diﬀ´ erents formats, ` a l’adresse suivante : matexo.emath.fr/exemaalt Pour plus de d´ etails sur les objectifs d’EXEMAALT, voir le texte d’expos´ e des motivations : EXE- MAALT, un serveur d’exercices de maths “alternatifs” : pour quoi faire ? disponible sur le serveur. Pr´ ecisons que ce recueil est destin´ e aux enseignants, et que son but est plus de proposer des pistes et des id´ ees que des exercices ﬁg´ es (les exercices devant la plupart du temps ˆ etre reformul´ es en fonction du contexte). Enﬁn, il s’agit d’un recueil en gestation, qui grossit au fur et ` a mesure que vous nous envoyez des exercices : certains th` emes du programme de DEUG peuvent donc ˆ etre (momentan´ ement...) absents. Les exercices sont sous licence (copyleft) de la LDL (Licence pour Documentation Libre) 2). Cela signiﬁe essentiellement que vous avez le droit de copier, de modiﬁer et de distribuer les exercices, mais que vous n’avez pas le droit d’empˆ echer quelqu’un de le faire. 1au format L A T EX, ` a l’adresse suivante : exemaalt@acm.emath.fr ; un ﬁchier mod` ele et des explications sont disponibles sur le serveur. 2http://garp.univ-bpclermont.fr/guilde/Guilde/Licence/ldl.html Table des mati` eres 1. Bataille navale lin´ eaire c ⃝2002 Fr´ ed´ eric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Source: Bataille-navale-lineaire.tex. Version imprimable: Bataille-navale-lineaire.pdf Niveau: DEUG premi` ere ann´ ee. Objectifs et commentaires. Dans cette activit´ e, on utilise un jeu de type “bataille navale” pour amener les ´ etudiants ` a se poser des questions sur la g´ eom´ etrie des sous-espaces vectoriels, et plus particuli` erement sur la dimension. R´ ealisation pratique Notons d’abord que contrairement ` a ce qu’on peut penser au premier abord, le jeu ne n´ ecessite pas beaucoup de calculs, puisqu’on peut r´ epondre ` a la plupart des questions ` a l’aide d’arguments de dimension : ´ evidemment, l’un des buts de l’exercice est d’inciter les ´ etudiants ` a utiliser ces raisonnements. On sugg` ere de grouper les ´ etudiants par quatre, et de les faire jouer deux contre deux (et ´ eventuellement plus tard quatre contre quatre). Par rapport ` a un aﬀrontement “un contre un”, ces conﬁguration ont l’avantage de favoriser la confrontation des id´ ees : le fait de ne pas ˆ etre d’ac- cord sur le coup ` a jouer devrait obliger les ´ etudiants ` a justiﬁer leurs propositions, donc ` a jouer plus rationnellement, voire ` a chercher une bonne strat´ egie. Et aussi, ceci diminue la fr´ equence des erreurs... Il vaut probablement mieux commencer par jouer dans R3, o` u l’intuition aide beaucoup. Mais il serait dommage de ne pas jouer aussi dans R4, o` u l’´ etudiant doit justement remplacer son intuition d´ efaillante par les raisonnements sur la dimension. On peut pr´ eciser les r` egles au fur et ` a mesure des parties ; on sugg` ere les r` egles additionnelles suivantes : – un joueur qui d´ etecte une erreur dans la r´ eponse de son adversaire ` a l’une de ses questions gagne la partie (y compris si la d´ etection intervient longtemps apr` es l’erreur) ; – le joueur qui se trompe en annon¸ cant la dimension perd la partie ; – un joueur est autoris´ e ` a modiﬁer son sous-espace vectoriel secret en cours de partie (y compris apr` es que l’autre ait propos´ e une dimension) ` a condition toutefois que son nouveau sous-espace secret reste compatible avec ses r´ eponses pr´ ec´ edentes. L’int´ erˆ et de cette r` egle est d’obliger le joueur qui pr´ etend avoir trouv´ e ` a ˆ etre sˆ ur de lui (et donc ` a chercher ` a d´ emontrer que la dimension est ce qu’il pense). On pourrait aussi demander explicitement au gagnant, ` a la ﬁn de la partie, de fournir une preuve que la dimension est ce qu’il aﬃrme (mais ceci risque de rendre l’activit´ e plus scolaire et moins ludique, ce qui est dommage). Complexit´ e algorithmique Apr` es un peu de pratique, on peut sugg´ erer aux ´ etudiants de chercher un algorithme, par exemple en leur demandant comment on pourrait programmer un or- dinateur pour qu’il trouve la r´ eponse en temps ﬁni dans tous les cas. Ceci est probablement assez diﬃcile en DEUG, sans parler de la recherche d’une strat´ egie optimale : on peut ainsi transformer le jeu en un exercice de niveau licence... Voici des ´ el´ ements de r´ eponses (en note de bas de page pour ne pas contrarier le lecteur qui voudrait y r´ eﬂ´ echir tout seul !). 3 Ce jeu est inspir´ e d’une bataille navale g´ eom´ etrique (non lin´ eaire) propos´ ee par Nicolas Bouleau dans le texte de sa conf´ erence au colloque EM2000 sur l’enseignement des maths, Y a-t-il lieu 3 Quelques remarques sur la complexit´ e Pour un champ de bataille E de dimension n, quel est le nombre de coups n´ ecessaires pour r´ epondre dans tous les cas ? Voici une strat´ egie qui marche toujours en moins de n coups. On choisit une base B = {e1, .., en}. On regarde les parties F contenues dans B telles que vect(F) ∩E1 = {0} (o` u E1 est l’espace inconnu). On note F l’ensemble de ces parties. Lemme Une partie maximale dans F est de dimension n −dim(E1). Donc on cherche une partie maximale. L’algorithme est le suivant. On pose la question “F = Vect(e1) ?” Si la r´ eponse est “` a l’eau”, on prend F1 = {e1} ; si c’est “touch´ e”, on prend F1 = ∅. Puis on continue : ` a l’etape i, on pose la question “F = vect(Fi−1 ∪{ei}) ?”, et on prend Fi = F si “` a l’eau”, Fi = Fi−1 si “touch´ e”. Le n-i` eme ensemble Fn est maximal : en eﬀet, le i-i` eme ensemble Fi est maximal pour l’ajout d’un des i premiers vecteurs (i. e. si on rajoute un des i premiers vecteurs ` a Fi, on touche E1). Remarquons aussi la diﬀ´ erence entre le “presque sˆ ur” et le “sˆ ur” : si on fait une dichotomie sur la dimension (en proposant d’abord un espace de dimension n/2, etc.), on va trouver la dimension en temps log(n) pour presque tout sous-espace ; la complexit´ e presque sure est en log(n), alors que c’est beaucoup moins ´ evident pour la complexit´ e “au pire”. Question Y a-t-il un algorithme meilleur que celui propos´ e au-dessus ? Autrement dit, quelle est la complexit´ e au pire ? d’envisager des math´ ematiques post-modernes? (http://em2000.imag.fr/Actes/). Citons le texte d’origine, qui peut inspirer d’autres exercices : “... Chaque ´ el` eve d’un binˆ ome d´ eﬁnit une ﬁgure g´ eom´ etrique (par exemple constitu´ ee d’un cercle et de deux droites) dans un syst` eme de coordonn´ ees. Pour deviner la ﬁgure de son adversaire, il tire des droites et non des points. Si ` a son tour de jouer, il propose ainsi la droite y = 2x + 1, son adversaire lui indique tous les points d’intersection de sa ﬁgure avec y = 2x + 1, etc. Il y a de multiples variantes suivant les ﬁgures cach´ ees et les objets qu’on tire, la d´ eduction et la combinatoire ne sont pas absentes de ce jeu qui peut s’organiser en tournoi comme les ´ echecs.” La bataille navale lin´ eaire est un jeu qui se joue ` a deux joueurs, dans lequel chacun doit d´ ecouvrir la dimension d’un sous-espace vectoriel cach´ e par l’autre. Expliquons les r` egles en d´ etail. On d´ ecide d’abord du champ de bataille : il s’agit d’un espace vectoriel E de dimension ﬁnie (par exemple R3 ou R4). Chaque joueur choisit en secret un sous-espace vectoriel de E (on notera E1 et E2 ces deux sous-espaces). Commence alors la phase de jeu proprement dite : le premier joueur sugg` ere un sous-espace vectoriel F de E ; le second lui r´ epond – “touch´ e” si le sous-espace propos´ e a une intersection non triviale avec le sous-espace cach´ e (autrement dit, si F ∩E2 n’est pas r´ eduit ` a {0}) ; uploads/Sports/ best-of-exos-alternatifs 1 .pdf