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Pendule double lagrange corrige

Exercices de cours du chapitre IV systèmes à N DDL Exercice IV- Double pendule Objectif Comparaison des réponses linéarisée et non linéarisée sous Matlab Le Double pendule est constitué de deux masses m m soumises à leur poids propre Elles sont reliées par deux ?ls inextensibles de longueur respective A A E ?ectuez la mise en équations sans linéarisation Pour simpli ?er la programmation on prendra m m m et A A A Linéariser les équations et déterminez la réponse à des conditions initiales données Sous Matlab comparer les solutions linéarisée et non linéarisée G yo A G g m A G m xo Corrigé de l ? exercice IV- Double pendule G Mise en équations ? Ec m A m A G y A G y Ec m m A m A m A A cos ?? ? Ep ??m gA cos ?? m g A cos A cos ? ?T yo A G g m A G m Équations de Lagrange non linéarisées xo m m A m A A cos ?? ?? m A A sin ?? m m gA sin m A m A A cos ?? m AA sin ?? m gA sin Avec m m m et A A A cos ?? ?? sin ?? g sin A cos ?? sin ?? g sin A Ce que nous pouvons écrire sous la forme ? ? cos ?? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? sisnin ?? ?? ?? ?? g g sin sin A A ? Pour résoudre ces équations di ?érentielles couplées non linéaire d ? ordre deux nous allons nous ramener à un système di ?érentiel d ? ordre un en e ?ectuant un changement de variables Posons X T x x x x En notant C cos x ?? x cos ?? S sin x ?? x etc ? ? x Nous obtenons ? C C X ? ? ? ? x S ?? x gS A ? ? ? ? ? ??x S ?? gS A ? ? Système di ?érentiel à quatre équations que nous pouvons résoudre avec Matlab en utilisant le solveur ODE ? Linéarisation Ec ? A mA mA ? M mA ? ? CExercices de cours du chapitre IV systèmes à N DDL Ep ? mgA mgA Fréquences et modes propres ? K mgA ? ? det K ?? ? M ? ? g A ? g A ?? Modes propres ? ? Z T et Z T ?? non normés Z ? ? ?? ? Z ?? ? ? ?? Oscillations libres q i ?i qi ? qi qio cos ?it q io ?i sin ?it L? cher sans vitesse initiale à t ? q i Dans une position donnée ? qo Z ?? ? ? ? oo ? ? ? ? ? ? ? o o ? o ?? o ? ? Puis ? ? ? ? Z q ? ? ? ? ? q oq coocso ?s ?t ??t q