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Lycée Montaigne Bordeaux Mathématiques spéciales MP3 Octobre 2012 Cours de phys

Lycée Montaigne Bordeaux Mathématiques spéciales MP3 Octobre 2012 Cours de physique : Transformation de Laplace Transformation de Laplace : déﬁnition, propriétés, et exemples d’utilisation en physique Table des matières I Déﬁnition, propriétés et principe de calcul 2 1 Introduction 2 2 Intégrale de Laplace 2 2.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Existence de l’intégrale : abscisse de sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Transformée de Laplace d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Propriétés fondamentales 3 3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3 Changement d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.4 Théorème du retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.5 T.L. d’une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.6 T.L. d’une intégrale (ou primitive) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.7 T.L. d’une fonction périodique (déﬁnie pour t ≥0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.8 Théorème de la valeur initiale - Théorème de la valeur ﬁnale . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.8.1 Théorème de la valeur initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.8.2 Théorème de la valeur ﬁnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Exemples de calculs de T.L. 8 4.1 Fonction de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.4 Tableau récapitulatif de quelques T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II Application de la T.L. en physique 10 1 Principe 10 2 Exemple en analyse du signal : caractéristiques d’un circuit RLC à l’aide d’une im- pulsion de Dirac 12 3 Formalisme de Laplace en électricité 13 3.1 Fonction de transfert opérationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Impédance opérationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Exemples d’analyses du comportement d’un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3.1 Réponse indicielle (échelon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3.2 Réponse impulsionnelle (impulsion de Dirac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 GRAYE Jean-Laurent Page 1 sur 17 Année 2012-2013 Lycée Montaigne Bordeaux Mathématiques spéciales MP3 Octobre 2012 Cours de physique : Transformation de Laplace Première partie Déﬁnition, propriétés et principe de calcul 1 Introduction Lors des études menées sur les systèmes linéaires dans les deux premières années post-baccalauréat, il est réservé une place très importante, pour ne pas dire prépondérante, aux signaux périodiques, et dans une assez large majorité des cas, les signaux sont purement sinusoïdaux. L’étude d’un système soumis à une contrainte harmonique (circuit RLC soumis à un signal sinusoïdal, amortisseur sou- mis à un générateur de force sinusoïdal, etc...) fournit en eﬀet de précieux renseignements comme le coeﬃcient d’amortissement, la pulsation de résonance etc... L’analyse du comportement d’un tel système est souvent présenté à l’aide d’un spectre de réponse en fréquence (Diagramme de Bode en électronique, courbe de résonance en mécanique). L’outil communément utilisé est alors la Trans- formation de Fourier (Transformée de Fourier Rapide sur un ordinateur (TFR)), qui constitue une extension du concept de développement en série de Fourier, mais cette fois pour un signal de durée ﬁnie 1. Cependant, il n’est pas rare de rencontrer des systèmes soumis à des contraintes non périodiques comme des impulsions de courte durée (impulsion de Dirac), ou des fonctions de type "échelon" (fonction de Heaviside) ; l’utilisation de la TF est alors inappropriée. L’outil adapté à l’analyse des signaux quelconques est l’intégrale de Laplace, appelée sous certaines conditions d’existence Transformée de Laplace. Ce document propose un présentation rapide des propriétés de la Transformation de Laplace, et expose quelques applications dans le domaine de l’électrocinétique, les résultats étant facilement transposables à tout autre domaine de la physique régi par des équations diﬀérentielles similaires. La dernière partie illustre la puissance de la transformée de Laplace à l’aide de multiples exemples pris en électrocinétique, et dont le traitement classique est bien plus délicat sans cet outil. La démarche entreprise à travers ces quelques pages ne prétend aucunement à une présentation complète de cet outil mathématique, mais il m’a semblé qu’en exposant d’une part la déﬁnition de la transformée de Laplace ainsi que ses principales propriétés, et d’autre part quelques exemples en électrocinétique, le lecteur pourrait imaginer toutes les applications possibles dès lors que le phénomène étudié est régi par une équation diﬀérentielle linéaire. Enﬁn, l’aspect très systématique de son application dans la résolution des équations diﬀéren- tielles 2 permet d’envisager des méthodes algorithmiques telles que celles employées par les logiciels de calcul formel. 2 Intégrale de Laplace 2.1 Expression On appelle Intégrale de Laplace la fonction de la variable p déﬁnie par : 1. cf cours MPP «Transformation de Fourier» 2. cf exemples d’applications GRAYE Jean-Laurent Page 2 sur 17 Année 2012-2013 Lycée Montaigne Bordeaux Mathématiques spéciales MP3 Octobre 2012 Cours de physique : Transformation de Laplace I(p) = ∞ ∫ 0− f(t) e−ptdt (1) où f(t) est une fonction nulle pour t < 0, et dans laquelle p est, à priori, un nombre complexe (p = α + iβ). 2.2 Existence de l’intégrale : abscisse de sommabilité Supposons que l’intégrale de Laplace existe pour p0 = α0 + iβ0, c’est à dire que f(t) e−p0t est sommable. En posant p = α + iβ alors : si α > α0 alors : |f(t) e−αt| < |f(t) e−α0t| Cette dernière inégalité entraîne la sommabilité de uploads/Sante/ transformation-de-laplace-definition-proprietes-et-exemples-d-utilisation-en-physique-1-1.pdf