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Notions analyse tensorielle

Mécanique des milieux continus Algèbre tensorielle Algèbre tensorielle Espace En se place dans un espace euclidien E espace vectoriel muni d ? un produit scalaire muni d ? une base orthonormée B ? ??e e e ?? ?? ?? On choisit un point O comme origine pour former un repère R ? O e e e Notation d ? Einstein On allège considérablement les écritures si on adopte la convention suivante appelée convention de notation d ? Einstein ou convention de l ? indice muet si un indice appara? t deux fois dans un même terme on lui fera prendre les valeurs et et on somme Par exemple si l ? on rencontre le terme aibi dans une équation il faut comprendre ? aibi ? aibi ? a b ? a b ? a b i ? Par conséquent on aura aibi ? a jbj ? akbk Ce qui explique pourquoi cet indice est nommé indice muet la lettre le représentant n ? a aucune importance Dans les cas o? on ne voudrait pas sommer sur l ? indice on le souligne aibi a jbj akbk Vecteurs ?? ?? ?? ?? Pour exprimer un vecteur U dont les coordonnées sont U U U dans la base B ? e e e on peut l ? écrire sous la forme U ? Ui ei Le produit scalaire de deux vecteurs U et V va s ? écrire U V ? Ui Vi Tenseurs En algèbre linéaire un tenseur d ? ordre est une forme bilinéaire de E ? E dans l ? espace réels Il fait correspondre à deux vecteurs quelconques un nombre réel Un tenseur de second ordre est noté T Lorsqu ? on l ? applique à deux vecteurs U et V on obtient le scalaire ?? ?? ?? ?? noté T U V Dans la base B ? e e e un tenseur peut être représenté par une matrice x de la manière suivante ??T T T ? T ? ?? ??T T T ?? ?? ? ??T T T ?? ?? A Mikdam ENSAM - Casablanca CMécanique des milieux continus Algèbre tensorielle Le résultat de T appliqué à U et V s ? écrit ?? ?? T U V ? U T V ? U pTpqVq ? U T V ? U T V ? U T V ? U T V ? U T V ? U T V ? U T V ? U T V ? U T V Le tenseur d ? ordre est une forme bilinéaire mais aussi une application linéaire de E dans E c'est-à-dire qu ? à tout vecteur U il peut faire correspondre un vecteur V tel que V ? TU Vi ? TijU j Le produit contracté de deux tenseurs du second ordre A et B noté A B est un tenseur de second ordre tel que T ? AB Tij ? Aip Bpj On notera T T le tenseur transposé de T c'est-à-dire le tenseur tel que