Traitement du signal - Électronique des Systèmes d’Acquisition Transformée de L

Traitement du signal - Électronique des Systèmes d’Acquisition Transformée de Laplace Germain PHAM & Chadi Jabbour dpham@telecom-paris.fr Avril 2020 Plan Encore un cours sur les transformées...!? Application des transformées La transformée de Laplace (TL) Principales applications de la TL 2/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Encore un cours sur les transformées...!? Objectifs de cette leçon (Re)voir la définition des transformées • Prendre du recul et comprendre comment s’incrit la transformée de Laplace dans cet univers Comprendre à quoi ça sert A Manipuler ces objets dans le contexte de l’électronique et des télécommunications Une bonne nouvelle pour commencer B Nous ne parlerons pas (ou alors très peu) de : projections sur des hyperplans, ni de spectre d’un opérateur linéaire, ni de valeurs propres, ni de convergence d’intégrale, ni de distributions. . . A. Il paraît que ça guérrit de la maladie Covid-19 B. enfin... sauf pour les amoureux de l’analyse fonctionnelle! 3/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Sources Les transparents de ce cours sont très inspirés des diapos de Marc Chaumont (MdC à l’Université de Nîmes) : Le traitement du signal - La transformée de Fourier, la transformée de Fourier discrète et la transformée en cosinus discret (janvier 2008) A A. Lui même inspiré par des supports de Joël Le Roux (Univ. Nice) et Paul Bourke (Univ. West. Australia) 4/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Plan Encore un cours sur les transformées...!? Application des transformées Joseph Fourier et sa transformée Le développement des transformées Signaux physiques et modèles théoriques Différents signaux(espaces), différentes TF Retour sur les applications "Signaux temporels" Conclusion La transformée de Laplace (TL) Principales applications de la TL 5/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Joseph Fourier et sa transformée Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) • Mathématicien et physicien français Théorie de la chaleur • Le premier a avoir déterminé, par le calcul, la diffusion de la chaleur en utilisant la décomposition d’une fonction quelconque en ce qu’on appelle aujourd’hui une série de Fourier. A. Images : Le journal du CNRS, BNF 6/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Les grandes applications de la transformée de Fourier Applications monodimensionnelles • Signaux temporels • Fonction de transfert • Radiodiffusion, transmissions • Sons Applications multidimensionnelles • Images • Propagation d’ondes • Interférométrie, holographie • Imagerie médicale A. Voir le cours de Marc Chaumont pour des illustrations détaillées A. Joseph Fourier transforme toujours la science, Le journal du CNRS 7/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL La propriété fondamentale 8/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Le développement des transformées Transformée de Fourier Transformée Inverse Transformée de Laplace Extension aux signaux échantillonés Invention de l’algorithme de transformée de fourier rapide (FFT) : Cooley, Tuckey (IBM,1965) Extension aux signaux multidimensionnels Ondelettes 9/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Signaux physiques et modèles théoriques Image d’un processus physique • énergie bornée • amplitude bornée • amplitude continue • spectre (quasi-)borné Modèles théoriques • fonction mathématique, qui dépend de la variable temps par exemple • souvent judicieux d’utiliser des modèles commodes mais non physiques Exemples • Signal sinusoïdal • Distribution de Dirac et peigne A. Plus de détails dans Chapitre 2, Théorie et traitement des signaux Frédéric de Coulon (Presses polytechniques,1998) (soit dit en passant, ce livre est une merveille!) 10/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Signaux déterministes/aléatoires Signaux Déterministes Périodiques Sinusoïdaux Périodiques composites Pseudo-aléatoires Non-Périodiques Quasi-périodiques Transistoires Aléatoires Stationnaires Ergodiques Non-ergodiques Non-stationnaires Classification spéciale 11/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Signaux déterministes/aléatoires (2) Pseudo-aléatoires Signaux périodiques dont l’évolution est proche d’un signal aléatoire (ex : signal cardiaque) Quasi-périodiques Sommes de sinusoides de périodes incommensurables (ex : multi-tons) Stationnaires Moments statistiques invariants dans le temps (ex : bruit blanc; contre-ex : sinus bruité) Ergodiques Moyenne statistique égale à la moyenne temporelle (ex : sinus à phase aléatoire; contre-ex : sinus à offset aléatoire) Interprétation de l’espérance et de la variance A : E  X(t)2 = E {X(t)}2 + σ2 X(t) →¯ Ptot = PDC + ¯ PAC A. Section 2.4.1 de Processus Aléatoires L. Deneire & I. Aliferis, Polytech’Nice Sophia,2009 12/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Énergie et puissance Électrotechnique • Puissance instantannée ([W] = [V]·[A]) p(t) = u(t) · i(t) (1) • Énergie sur un intervalle de temps ([J] = [W]·[s]) E = Z t2 t1 p(t)dt (2) • Puissance moyenne sur l’intervalle ([W]) Pm = 1 t2 −t1 Z t2 t1 p(t) dt (3) Traitement du signal • Énergie (normalisée) sur un intervale de temps Ex = Z t2 t1 x2(t)dt (4) • Puissance moyenne (normalisée) sur l’intervalle Px,m = 1 t2 −t1 Z t2 t1 x2(t) dt (5) • Énergie et puissance pour une résistance de 1 Ω • On peut prendre les limites t1 →−∞et t2 →∞ 13/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Classification énergétique Signaux à énergie finie Z +∞ −∞ |x(t)|2 dt < ∞ (6) Signaux à puissance moyenne finie (non nulle) 0 < lim T→∞ 1 T Z T 2 −T 2 |x(t)|2 dt < ∞ (7) Remarque • Un signal d’énergie finie a une puissance moyenne nulle – signal physiquement réalisable • Un signal de puissance moyenne finie a une énergie infinie – pas de réalité physique 14/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Signaux continus et discrets Amplitude Continue Discrète Nature du temps Continu Discret Énergie totale du signal échantillonné : Wxe = P x2(tk) · ∆t Énergie du signal numérique (∆t = 1) : Wxn = P x2(tk) 15/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Transformées de Fourier, Laplace, en Z, et en temps discret Nature de la variable exponentielle Complexe pure p = jω Complexe quelconque p = σ + jω Nature du temps Continu TF F(ω) = R f(t) e−jωt dt TL F(p) = R f(t) e−pt dt Discret f(t) · P n δ (t −nT) TFTD FTD(ν) = P f[n] e−j2πnν   y TFTD FD[k] = PN n f[n] e−j2πnk/N TZ F(z) = P f[n]z−n 16/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Retour sur les applications "Signaux tem- porels" Équation différentielles et filtrage (RLC) Transmissions analogiques et numériques de base Interprétation de l’échantillonage des signaux en vue du traitement numérique Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole Analyse en fréquence des sons, de la musique et compression de données Identification des caractéristiques d’un système linéaire • Suppression d’échos • sismographie • cardiologie Transmissions numériques : OFDM A. Source : Le traitement du signal - La TF, la TFD et la TCD M. Chaumont (2008) 17/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Conclusion Vaste champ d’application • Grâce au traitement numérique • Grâce à l’algorithme de FFT Les transformées sont un outil essentiel pour les technologies 18/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Plan Encore un cours sur les transformées...!? Application des transformées La transformée de Laplace (TL) Définition mathématique La transformée de Laplace généralise la TF Propriétés de la TL Exercice 1 : TL d’un triangle Principales applications de la TL 19/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL La transformée de Laplace généralise la TF La transformée de Laplace est une extension de la transformée de Fourier au plan complexe complet. Fourier Laplace σ=0 ← − − − − − − p=jω F  p = (σ, jω)  = Z f(t) e−σt e−jωt dt (8) Le facteur e−σt est un facteur de convergence que la transformée de Fourier ne possède pas. 20/33 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL Propriétés de la TL Linéarité L ( n X i=1 aixi (t) ) = n X i=1 ai L n xi (t) o (9) Translation temporelle L  x (t −α) u (t −α) = e−αpX (p) (10) • Le module de la TF n’est pas modifié! Transformée d’une dérivée temporelle L  d dt x(t)  = p · X (p) −x 0−
(11) Transformée uploads/Sante/ elec101-tl-cj.pdf

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• Publié le Jul 07, 2021
• Catégorie Health / Santé
• Langue French
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