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Lycée Blaise-Cendrars/Physique/Labos/DC/22/11/04 Mesures/Erreurs 1/5 1. Princip

Lycée Blaise-Cendrars/Physique/Labos/DC/22/11/04 Mesures/Erreurs 1/5 1. Principe de la mesure en physique Une mesure est toujours imprécise. La précision dépend de plusieurs facteurs. Le facteur humain : Mauvaise appréciation de la valeur mesurée, erreur systématique dans la manipulation, manque de soin flagrant, sous estimation d’un effet perturbateur... L’outil de mesure : Chaque outil de mesure est basé sur un phénomène physique (p. ex. le thermomètre est basé sur la dilatation des liquides). La bonne connaissance et maîtrise de ce phénomène influence la précision de la mesure. De même une bonne conception de l’outil permet de minimiser ou corriger les effets perturbateurs ainsi que d’assurer une bonne reproductibilité de la mesure. Le phénomène à mesurer : Certains phénomènes physiques nécessitent un appareillage très complexe pour être mesurés. La complexité de la mesure (p. ex. if faut mesurer plusieurs quantités indépendantes pour en tirer le résultat final) influence sensiblement la précision. De même, dans les phénomènes rares (p. ex. certains phénomènes atomiques), il est important de disposer de nombreuses mesures pour obtenir une bonne statistique. 2. Loi de propagation des erreurs (cas simples) Les effets des erreurs de mesure des quantités entrant en compte dans la détermination d’une grandeur dérivée sont en général assez difficiles à évaluer au niveau gymnasial. Nous nous bornerons donc à étudier les cas simples que sont la multiplication, la division, l’addition et la soustraction de quantités mesurées. Notation : L’erreur (absolue) sur une quantité A s’écrit !A. Le signe ! symbolise en général une petite quantité dans le langage mathématique. 1.1. Additions et soustractions de grandeurs Problème : Déterminer le périmètre d’un rectangle dont les côtés valent A ± !A et B ± !B. Le périmètre s’exprime par P A B = + . Calculons les valeurs extrêmes de P : P P P A A B B A B A B P P P A A B B A B A B max min ( ) ( ) = + = + + + = + + + = " = " + " = + " + ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! On en déduit immédiatement pour l’erreur sur P : ! ! ! P A B = + On peut montrer facilement que ce résultat s’applique aussi à une soustraction (voir exercices). Par ailleurs, l’associativité de l’addition permet de généraliser ce résultat à un addition de plusieurs quantités. On résume la propagation des erreurs pour les additions et soustractions ainsi : On additionne les erreurs absolues pour des additions ou soustractions. Labos de physique : Mesures - Propagation d’erreurs - Mesures répétitives - Statistiques Lycée Blaise-Cendrars/Physique/Labos/DC/22/11/04 Mesures/Erreurs 2/5 1.2. Multiplications et divisions de grandeurs Problème : Déterminer la surface d’un rectangle dont les côtés valent A ± !A et B ± !B. La surface s’exprime par S A B = # . Calculons les valeurs extrêmes de P : S S S A A B B A B B A A B A B S S S A A B B A B B A A B A B max min ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + # + = # + # + # + # = " = " # " = # " # " # + # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Les quantités !A et !B sont en général petites par rapport à A et B. On peut donc négliger le terme ! ! A B # ! On arrive à exprimer l’erreur sur S : ! ! ! ! ! ! ! S B A A B AB A A AB B B S A A B B = # + # = # + # = # + $ % & ' ( ) En divisant le tout par S , on exprime l’erreur relative : ! ! ! S S A A B B = + On peut montrer que ce résultat s’applique aussi à une division. Par ailleurs, l’associativité de la multiplication permet de généraliser ce résultat à une multiplication de plusieurs quantités. On résume la propagation des erreurs pour les multiplications et divisions ainsi : On additionne les erreurs relatives (%) pour des multiplications ou divisions. 3. Mesures répétitives : Ecart-type Si l’on ne peut pas estimer les erreurs de manière précise, on peut utiliser la méthode répétitive. Celle-ci consiste à mesurer plusieurs fois la même grandeur physique. On arrive ainsi à calculer une grandeur moyenne sur toutes les mesures (moyenne arithmétique). Ces mesures ne sont pas identiques en vertu de leurs imprécisions. Elles se répartissent autour d’une valeur moyenne. Si l’on reporte sur un graphe le nombre de mesures situées dans des intervalles fixes de valeurs, on observe une sorte de forme en cloche dont le maximum se situe vers la valeur moyenne de toutes les mesures (fig.1). Cette forme de représentation des mesures s’appelle un histogramme. Elle nous donne de précieux renseignements sur la répartition des mesures et donc de leur qualité. . En général, cette répartition suit une distribution de probabilité Gaussienne (courbe mathématique continue, en cloche). X Nb mesures/!X X moyen !X 70% des mesures Lycée Blaise-Cendrars/Physique/Labos/DC/22/11/04 Mesures/Erreurs 3/5 X Nb mesures/!X X moyen X Nb mesures/!X X moyen fig. 2 fig. 3 La largeur de cette cloche est directement liée à la précision des mesures. Plus la cloche est large, plus les mesures peuvent fluctuer (fig. 2). Donc l’erreur de mesure est grande. Inversement, une cloche mince reflète une erreur de mesure petite (peu de différence entre les mesures, fig. 3). Mathématiquement, on peut calculer l’écart-type de cette série de mesure, qui représente la déviation des mesures autour de la moyenne. Avec une distribution gaussienne, ~67% des mesures doivent être comprises dans un domaine de valeurs de ± 1 écart-type autour de la valeur moyenne (zone grisée de la fig. 1). On a ainsi déterminé l’erreur de mesure moyenne. Bien entendu, plus on dispose de mesure plus cette méthode est précise. C’est pourquoi une telle méthode ne peut pas s’appliquer convenablement sur moins de 10 mesures. Soit N mesures xi .La moyenne arithmétique x se calcule de manière standard : x N xi i N = = * 1 1 L’écart-type, + ou S, est défini comme la racine carrée de la variance V (voir probabilités en 3ème année). Il représente pour nous l’erreur de mesure moyenne, pour chaque mesure effectuée, notée tout naturellement !x. + + 2 2 1 2 1 1 1 1 1 = = " " ( ) = = = " " ( ) = = * * V N x x x V N x x i I N i I N d'où ! Remarque : le facteur N-1 (au lieu de N) découle du fait que la moyenne a été déterminée depuis les données et non de manière indépendante. Sur les machines à calculer courantes, + correspond à la touche x+n-1 et non x+n. Sur la moyenne de toutes les mesures, l’erreur est bien sûr plus faible (Mesurer plusieurs fois la même chose diminue l’incertitude si l’on fait une moyenne). L’erreur moyenne se note !x . Elle découle directement de l’erreur !x par ! ! x N x = 1 Ainsi mesurer 100 fois la même longueur avec une même précision permet de calculer une longueur moyenne avec une précision 10 fois plus petite. Lycée Blaise-Cendrars/Physique/Labos/DC/22/11/04 Mesures/Erreurs 4/5 Exemple : Mesure d’une longueur mesure 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 moyenne longueur, x [mm] 100 100 99 98 101 102 101 99 97 104 100.10 On calcule V : V = 1 10 "1 0.12 + 0.12 +1.12 + 2.12 + 0.92 +1.92 + 0.92 +1.12 + 3.12 + 3.92 ( ) = 4.1 Cela conduit à !x = 2.02 mm. Mais vue la précision des mesures, au mieux le mm (voir les valeurs du tableau), on ne peut pas garantir les décimales de !x ! L’erreur de mesure moyenne sera donc de 2 mm pour chaque mesure. Puisque l’on a pris 10 mesures, l’erreur sur la moyenne, !x , vaut donc !x N = = 2 10 0 63 . . Ici aussi il ne faut garder que le nombre de chiffres significatifs appropriés. Le nombre 2 n’a qu’un seul chiffre significatif. Donc le résultat ne peut être donné qu’avec un seul chiffre significatif soit !x = 0.6 mm. Donc on obtient finalement : x = 100.1 ± 0.6 mm Graphiquement, on peut construire l’histogramme suivant : Le graphe part de 90 et va de 1 en 1 jusqu’à 110. Le nombre total de mesures est bien de 10 : 1+1+2+2+2+1+0+1=10 3 2 1 0 9 0 9 19 29 3 9 49 59 6 9 79 8 9 9 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 Mesures Gaussienne La courbe en pointillés représente la distribution gaussienne attendue. En principe, c’est la forme que prendrait l’histogramme si l’on disposait de très nombreuses mesures (attention, uploads/Sante/ calcul-erreurs-2 1 .pdf