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Musique et mathematiques 3 fourier

SAVOIRS par Beno? t Rittaud la décomp ? osition our er Si le son était un puzzle ses pièces en seraient des sinuso? des Telle est e substance la découverte de Fourier qui au dix- neuvième siècle établi l'un de résultats les plus importants de l'analyse moderne E NTRE LES DEUX DESSINS SUIVANTS quel est celui qui vous para? t objectivement le plus simple que si l'on savait ramener le sinus à quelqt chose de plus simple on ne s'en priverait pas Le compliqué deuient le plus simple ? l'aüle de la décomposition de Fourier la technologie numérique peut entrer en scène pour reconstituer de la musique à partir de nombres Comme tout le monde vous pensez sans doute que c'est la droite et jusqu'au dix-neuvième siècle il ne se serait pas trouvé grand monde pour vous contredire Descartes lui-même qui avec son repère carté sien comprit le premier l'importance qu'allait prendre l'étude des fonctions ne jurait que par les droites les paraboles et autres polynômes c'est à-dire les graphes donnés par des équations telles que y x x x La limitation intellectuelle qu'il imposait à la géométrie analytique ainsi créée pouvait s'expli quer en partie par une raison bien simple si com pliquée que soit l'expression x x x l elle ne met tout de même en jeu que deux types d'opération l'addition et la multiplication Il n'y a pas moyen en revanche d'exprimer à l'aide des quatre opérations une sinuso? de qui se dé ?nit à l'aide de notions trigonométriques cf encadré La notation utilisée y sin x pour sinus est là pour en témoigner vous pensez bien Bref lors qu'il semblerait donc que les sinuso? des soient à ranger dans la catégorie des courbes irrémédiablement compliquées auxquelles on ne se réfère que lorsqu'on ne peut pas faire autrement la théorie de F ourier renverse complètement ce point de vue et place la fonction sinus et ses s ?urs au c ?ur d'un dispositif mathématique les séries de Fourier qui permettent d'exprimer toutes les autres fonctions ou presque à partir d'elle s Considérons la courbe suivante qui peut être celle d'un signal sonore - - Celle-là on accepte facilement l'idée qu'elle est constituée de sinuso? des Si on lui superpose Tangente H S n Février C CSAVOIRS Décomposition de Fourier fréquence période L'unité de mesure des angles au moins en mathématiques est le radian qui est la mesu re de l'arc de cercle délimité par A et M pour un cercle de rayon voir encadré précé dent La formule classique S TR implique que l'angle plein mesure T radians Lorsque M a fait un tour complet c'est-à-dire que l'angle fJ est de T radians le calcul du sinus repart de zéro plus mathéma tiquement on dit que le sinus est périodique de période T autrement dit que pour tout angle on a sin fJ sin fJ - T Sur le dessin d'une sinu so? de cela se traduit par le fait que lorsqu'on le décale de Tvers la