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Md1 2018 2019 interro finale v1

Université Paris Diderot - Paris - C Méthodologie et outils mathématiques pour la physique Interrogation nale - décembre Durée de l'interrogation h Pas de calculatrice ni de documents Un barème indicatif basé sur points est donné pour vous permettre de visualiser l'importance relative de chaque exercice par rapport aux autres Ce barème n'impose pas de faire tous les exercices pour obtenir la note maximale nous vous conseillons donc de commencer par les exercices pour C lesquels vous vous sentez le plus à l'aise Il est également crucial de véri er C vos résultats a n d'éviter les erreurs qui se propagent d'une question à une autre Exercice - Mise en équation ?? points a En magasin une cartouche d'encre coûte euros alors que sur internet les mêmes cartouches sont à euros l'unité L'envoi de la commande internet coûte euros Combien de cartouches d'encre faut-il acheter au minimum pour que l'achat sur internet soit moins cher que celui en magasin b Quel est le nombre auquel je pense si lorsque je lui ajoute et que je multiplie le résultat par j'obtiens le même le nombre que si j'ajoute au double du nombre de départ Exercice - Le rectangle d'or ?? points C C Par dé nition un rectangle d'or est un rectangle dont les dimensions véri ent Longueur Demi-périmètre Largueur Longueur C En notant l et L la largeur et la longueur d'un tel rectangle d'or on dé nit le rapport sans dimension r L l avec r Montrer que r est solution de l'équation E r ?? r ?? On appelle r le nombre d'or Montrer que E est équivalente à l'équation r ?? ?? En déduire C en justi ant votre réponse la valeur exacte du nombre d'or r on rappellera que r En utilisant le fait que r r Démontrer que r r En procédant de façon similaire exprimer également r et r en les mettant sous la forme nr m avec n et m des entiers à déterminer dans chaque cas CExercice - Trigonométrie ?? points Donner la formule trigonométrique permettant de calculer sin a ??b C Véri er explicitement cette formule en prenant a et b C Donner la relation mathématique dé nissant la fonction arccosinus en C B indiquant clairement les ensembles de dé nition associés aux di érentes grandeurs introduites Trouver les solutions de l'équation cos Les représenter sur le cercle trigonométrique en indiquant clairement les angles Laquelle de ces solutions vaut arccos Pourquoi peut-on prédire sans faire d'application numérique que sin prend une valeur proche de on pourra faire l'approximation ? ?? Exercice - Equations trigonométriques ?? points a Déterminer la valeur de l'angle x C véri ant ? ? x ? ? et sin x b Déterminer la valeur de l'angle C véri ant cos ?? sin avec ? ? ? Exercice - Vecteurs et projections ?? points L'objet O est en équilibre C statique sur le plan incliné comme montré dans la gure ci dessous R F O y x y