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Mathematique appliquee cours 31

Factorielle et binôme de Newton Cours C Dé nition On note pour tout n ?? N ? n ? ? ? ? n ?? ? n C factorielle n et l'on pose On peut dé nir n par récurrence selon n n ? n Rappel Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles par exemple succès et échec Un schéma de Bernoulli est une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes Supposons que l'on répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes Notons p la probabilité de succès à chaque épreuve On obtient ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres n et p que C l'on peut représenter par un arbre Dé nition Pour tout k ?? n le nombre de chemins fournissant k suc- cès sur les n répétitions est n k parmi n k On peut démontrer que n n n n ?? n ?? k k k n ?? k k On peut aussi montrer que n représente le nombre de sous-ensembles de k éléments k d'un ensemble ayant n éléments ou encore le nombre de façons de choisir k éléments dans un ensemble ayant n éléments On peut établir par récurrence que pour tout n ?? N et pour tous x y ?? R formule du binôme de Newton x y n n xn n yn n xn ?? y n xyn ?? n xyn ?? n ?? n xn ?? y n ?? n yn n n k n xn n n k n xkyn ??k k n xn ??kyk k E C Les nombres n sont encore appelés coe cients binomiaux Ils véri ent les propriétés k suivantes a pour tous k n ?? N tels que k n n n n ??k k b n n n n n n n n n ?? n n ?? n ?? c pour tous k n ?? N tels que k triangle de Pascal n ?? n n n formule du k k k Pour calculer n pour de petites valeurs de k et n on peut utiliser le triangle de Pascal k anak a Notation Soit p q ?? N tels que p q et up up uq ?? uq des nombres On note q ui up ? up ? ? uq ?? ? uq i p n n n n Par exemple n i e n i ui eui et si u un ln ui ln ui i i i i Application linéarisation À l'aide du binôme de Newton et de la formule d'Euler pour tout entier n ? on peut transformer cosn x et sinn x en sommes de termes de la forme cos kx et sin kx k ?? N ? Exemple par la formule d'Euler sin x eix ?? e ??ix Donc gr? ce au binôme i sin x eix eix ??e ??ix eix ??e ??ix ??e ??ix ?? i ?? e ix ?? eix e ??ix ?? e ?? ix ?? i sin x ??