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Ma201 examen 09 10 MA La m ?ethode des ?el ?ements ?nis Contr ole continu du novembre Dur ?ee heures Documents autoris ?es polycopi ?e MA partie et partie ?enonc ?es corrig ?es TD MA ?enonc ?es TP MA Toute r ?eponse doit etre justi ? ?ee Probl eme Autour

MA La m ?ethode des ?el ?ements ?nis Contr ole continu du novembre Dur ?ee heures Documents autoris ?es polycopi ?e MA partie et partie ?enonc ?es corrig ?es TD MA ?enonc ?es TP MA Toute r ?eponse doit etre justi ? ?ee Probl eme Autour de la di ?usion Les deux parties de ce probl eme sont totalement ind ?ependantes et peuvent donc etre trait ?ees s ?epar ?ement Partie Di ?usion neutronique Certains modeles neutroniques conduisenta consid ?erer le probl eme suivant trouver u ?? L d ?e ?nie sur telle que F F F F F F ??u d ? F F F F ??div D ??u f dans F F F F F F F F u sur ? Ci-dessus le domaine de calcul est un ouvert born ?e connexe de R de frontiere ? su ?samment r ?eguliere D ?? L ? est un coe ?cient de di ?usion pouvant d ?ependre de la position caract ?erisant les mat ?eriaux pr ?esents dans le c ?ur du r ?eacteur et f ?? L est la donn ?ee Obtention de la formulation variationnelle a Dans quel espace faut-il poser la formulation variationnelle associ ?ee a b E ?crire la formulation variationnelle associ ?eea on la notera FV dans la suite c V ?eri ?er que la solution de FV est ?egalement solution de On se place maintenant dans le cas de la ?gure qui est cens ?ee repr ?esenter une g ?eom ?etrie tr es simpli ? ?ee de c ?ur de r ?eacteur nucl ?eaire Le coe ?cient de di ?usion D est d ?e ?ni par D D dans D D dans avec D et D deux constantes strictement positives a Montrer que FV est bien pos ?ee b Quelle est la condition v ?eri ? ?ee par la solution sur l ? interface ? ? ?? ? La neutronique est l ? ?etude du d ?eplacement des neutrons et de leurs interactions avec la matierea l ? int ?erieur d ? un c ?ur de r ?eacteur nucl ?eaire C On suppose maintenant que la donn ?ee f est sym ?etrique par rapport aux axes Ox et Oy a Soit u la solution du probleme On d ?e ?nit usym comme pour presque tout x y ?? usym x y u ??x y En consid ?erant les sym ?etries de la g ?eom ?etrie de la ?gure montrer que usym est aussi solution de En d ?eduire que u est sym ?etrique par rapporta l ? axe Oy b On d ?e ?nit xy ?? R Quel est le probleme direct v ?eri ? ?e par u u xy On admet que la formulation variationnelle associ ?eea ce nouveau probl eme est Trouver u ?? V telle que D ??u ??v d f v d ??v ?? V xy xy Dans quel espace V est pos ?ee FV c Quel int ?er et les questions a et b peuvent-elle avoir en pratique FV