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Loi de poisson Processus de Poisson D ? après Construction d ? un modèle de Poisson ? de Michel Henry Dans Autour de la modélisation en probabilités Presses Universitaires Franc-Comtoises Rappel des programmes de BTS La loi de Poisson est introduite comme

Processus de Poisson D ? après Construction d ? un modèle de Poisson ? de Michel Henry Dans Autour de la modélisation en probabilités Presses Universitaires Franc-Comtoises Rappel des programmes de BTS La loi de Poisson est introduite comme correspondant au nombre de réalisations observées durant un intervalle de temps de longueur donnée lorsque le temps d'attente entre deux réalisations est fourni par une loi exponentielle ? Problème de vacances Par une belle nuit d ? été on observe en moyenne étoiles ?lantes par heure Quelle est la probabilité d ? en voir trois dans le prochain quart d ? heure Hypothèses de travail Considérons l ? événement A observer une étoile ?lante ? A partir d ? un instant initial t on peut observer à tout instant la manifestation d ? un événement A On suppose que cet événement est instantané L ? ensemble de ces observations constitue une suite croissante d ? instants successifs On s ? intéresse au nombre d ? évènements A produits dans une durée d ? observation T On suppose que o il n ? y a pas de moments o? une étoile appara? t plus souvent que d ? autres on suppose donc que la fréquence d ? arrivée des étoiles ?lantes ne dépend pas de l ? instant du début de l ? observation o les étoiles ?lantes ne sont pas très fréquentes o l ? instant o? l ? on observe l ? une d ? entre elles ne dépend pas des arrivées précédentes Nous sommes en présence d ? un phénomène homogène dans le temps rare et sans mémoire Cette situation est caractérisée par un paramètre qui peut être évalué on peut observer que dans des conditions analogues A se produit en moyenne c fois dans un intervalle de temps unité cadence du phénomène Modèle probabiliste On considère comme ensemble des issues possibles l ? ensemble continu ? de tous les instants o? A peut théoriquement se produire à partir d ? un instant initial d ? observation ? ? Ces hypothèses se traduisent mathématiquement de la façon suivante o la probabilité d ? observer A dans l ? intervalle ti ti ne dépend que de la durée ti ?? ti phénomène homogène dans le temps o la probabilité qu ? il se produise deux ou plus évènements A à la fois c ? est-à-dire dans un petit intervalle de temps ?t est négligeable devant la probabilité d ? en observer un seul dans ce même intervalle de temps phénomène rare De plus cette probabilité tend vers avec ?t Ainsi la probabilité que A se produise à un instant déterminé a priori est considérée comme nulle o les évènements A se produit entre les instants ti et ti ? sont indépendants phénomène sans mémoire Des deux premières hypothèses on va pouvoir supposer que la probabilité d ? observer A dans un petit intervalle de temps ?t est proportionnelle à la longueur de cet intervalle le coe ?cient de proportionnalité étant