LEÇON N˚ 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : – Pro
LEÇON N˚ 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : – Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; – Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance, variance ; – Indépendance de variables aléatoires : X ⊥Y ⇔P(X ∩Y ) = P(X) P(Y ). Introduction Définition 1 : On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve ne possédant que deux issues possibles, que l’on appelle succès et échec. Si X désigne une variable aléatoire réelle comptant le nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli, alors nous avons les deux cas suivants : ⋄(X = 1) est l’événement corespondant au succès : on lui donne la probabilité p (p ∈[0, 1]) ; ⋄(X = 0) est donc l’événement correspondant à l’échec. Il a pour probabilité q = 1 −p. Si une variable aléatoire réelle X suit une loi de Bernoulli, alors on note L (X) = B(p), où p désigne la probabilité du succès. Exemples : 1. Le lancer d’une pièce équilibrée (non truquée) est une épreuve de Bernoulli car il n’y a que deux issues possibles : ⋄Soit (X = 1), correspondant à l’événement « obtenir Pile », de probabilité 0, 5 ; ⋄Soit (X = 1), correspondant à l’événement « obtenir Face », de probabilité 0, 5. 2. Si on lance un dé équilibré, on peut considérer (par exemple) l’événement « obtenir 6 » comme étant le succès, et donc l’événement « ne pas obtenir 6 » comme l’échec. Dans ces conditions, P(X = 1) = 1/6 et P(X = 0) = 5/6. Remarque 1 : Puisqu’il n’y a que deux issues possibles dans une épreuve de Bernoulli, c’est nous qui choisis- sons quel événement sera synonyme de succès. On aura pu choisir l’événement « obtenir Face » comme succès dans l’exemple précédent. Théorème 1 : L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par E(X) = p et Var(X) = p(1 −p) = pq. 2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. démonstration : Récapitulons la loi d’une variable aléatoire de Bernoulli grâce au tableau suivant : xi 0 1 P(X = xi) 1 −p p Rappelons les formules donnant l’espérance et la variance d’une variable aléatoire : E(X) = X i xi P(X = xi) et Var(X) = E (X −E(X))2 . Ici, nous avons donc E(X) = 1 · p + 0 · (1 −p) = p et Var(X) = (1 −p)2 · p + (0 −p)2 · (1 −p) = (1 −p)[p(1 −p) + p2] = p(1 −p). ■ 7.1 Schéma de Bernoulli Effectuons maintenant n épreuves successives de Bernoulli (par exemple, on lance n fois de suite une pièce équilibrée). On a donc pour univers Ω= {(x1, . . . , xn), xi ∈{0, 1}} = {0, 1}n. Soient X1, . . . , Xn n va- riables aléatoires réelles, chacune suivant une loi de Bernoulli. La variable Xi est définie de Ωdans {0, 1} par Xi (x1, . . . , xn) = xi, avec xi = 1 en cas de succès, et xi = 0 en cas d’échec. Pour cette expérience aléaoire, on se fixe quelques hypothèses de départ : H1 : L (X1) = · · · = L (Xn) = B(p) ; H2 : La variable aléatoire Xi est indépendante de X1, . . . , Xi−1, et de plus PX1=ε1,...,Xi−1=εi−1(Xi = εi) = P(Xi = εi), avec εk ∈{0, 1} pour tout 0 ⩽k ⩽i. Théorème 2 : Il existe une unique probabilité P sur Ωqui vérifie H1 et H2. démonstration : Analyse : Supposons qu’une telle probabilité existe. Soit (ε1, . . . , εn) ∈Ω= {0, 1}n un événement élémentaire. On a alors, par définition d’une probabilité conditionnelle : P(X1 = ε1, . . . , Xn = εn) = PX1=ε1,...,Xn−1=εn−1(Xn = εn) P(X1 = ε1, . . . , Xn−1 = εn−1). En utilisant l’hypothèse H2, on a alors P(X1 = ε1, . . . , Xn = εn) = P(Xn = εn) P(X1 = ε1, . . . , Xn−1 = εn−1). En réitérant ce procédé n −1 fois, on obtient au final P(X1 = ε1, . . . , Xn = εn) = n Y i=1 P(Xi = εi). Les valeurs de P sur les événements élémentaires déterminent de manière unique cette probabilité : P X = (x1, . . . , xn) = n Y i=1 P(Xi = εi). Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. 3 Synthèse : Définissons P sur les événements élémentaires par la relation P X = (x1, . . . , xn) = P(X1 = ε2, . . . , Xn = εn) = n Y i=1 P(Xi = εi). Est-ce une probabilité ? On a X ω∈Ω P(ω) = n X k=0 X ω∈Ωk P(ω) = n X k=0 X ω∈Ωk pk qn−k, avec q = 1 −p et Ωk = { événements élémentaires admettant exactement k succès}. En effet, si ω ∈Ωk, alors on a (d’après l’hypothèse H1) P(ω) = P(Xi = 1) k P(Xi = 0) n−k = pk qn−k. Pour obtenir k succès au bout de n épreuves de Bernoulli, on a n k possibilités. Au final, X ω∈Ω P(ω) = n X k=0 n k pk qn−k = 1. La dernière égalité provient de la formule du binôme de Newton. De plus, montrer que P(ω1 ∪ω2) = P(ω1) + P(ω2) est évident grâce à la définition de P. En effet, si l’on note ω1 = (ε1, . . . , εn) et ω2 = (ǫ1, . . . , ǫn), P(ω1 ∪ω2) = P (X1 = ε1, . . . , Xn = εn) ∪((X1 = ǫ1, . . . , Xn = ǫn) P proba = P(X1 = ε1, . . . , Xn = εn) + P(X1 = ǫ1, . . . , Xn = ǫn) = P(ω1) + P(ω2). P vérifie-t-elle H1 et H2 ? Étant partis de ces hypothèses pour construire P, on peut affirmer que cette probabilité vérifie bien les hypothèses H1 et H2. Nous laissons cette vérification au soin du lecteur. ■ Définition 2 : L’univers Ωmuni de la probabilité P est appelé schéma de Bernoulli à n épreuves, et de paramètre p. Remarque 2 : Dans la suite, nous noterons la probabilité P par la lettre « simple » P. Il ne peut y avoir de confu- sion possible entre une épreuve et un schéma de Bernoulli, d’où cette identification. 7.2 Loi binomiale Soit (Ω, P) un schéma de Bernoulli à n épreuves, de paramètre p. Soit Sn la variable aléatoire associée au nombre de succès au bout de n épreuves de Bernoulli, donc définie de la manière suivante : Sn = n X i=1 Xi. 4 Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Définition 3 : Dans ces conditions, on dit que Sn suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). Théorème 3 : Si L (X) = B(n, p), alors pour tout k ∈{0, . . . , n}, P(Sn = k) = n k pk qn−k. démonstration : Découle directement de la démonstration ci-dessus. ■ Exemple : On lance un dé 10 fois de suite. La probabilité d’obtenir au moins un 6 est égale à 1 − 5 6 10 ≈0, 84, où (5 6)10 désigne la probabilité de n’obtenir 6 aucune fois. Théorème 4 : Soit Sn une variable aléatoire réelle suivant une loi B(n, p). Alors E(Sn) = np et Var(Sn) = np(1 −p) = npq. démonstration : On note Sn = Pn i=1 Xi, où pour tout i ∈{1, . . . , n}, L (Xi) = B(p). Espérance : Puisque l’espérance est linéaire, on a directement que E(Sn) = E n X i=1 Xi ! = n X i=1 E(Xi) = n X i=1 p = np. Variance : Puisque les Xi sont deux à deux indépendants, la variance devient linéaire, de sorte que Var(Sn) = Var n X i=1 Xi ! = n X i=1 Var(Xi) = n X i=1 p(1 −p) = np(1 −p) = npq. ■ 7.3 A la calculatrice... Avec la TI Voyage 200, nous allons simuler le schéma de Bernoulli introduit précédemment grâce au tableur (« Cell- sheet »). On rappelle l’expérience et les résultats théoriques : on lance un dé 10 fois de suite. La probabilité d’obtenir au moins un 6 est de p = 1 −(5 6)10 ≈0, 84. Voici la marche à suivre (des captures d’écran sont sur la page suivante −une capture par étape −afin de mieux comprendre) : 1. Dans l’écran Home, définir les fonctions suivantes : – la fonction qui renvoie 1 lorsque l’argument qu’on lui donne vaut 6, et 0 sinon : when(x = 6, 1, 0) →f(x) ; Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. 5 – la fonction qui renvoie 0 lorsque l’argument qu’on lui donne vaut 0, et 1 sinon : when(x = 0, 0, 1) →g(x). 2. Dans le tableur, donnez uploads/Religion/ lecon07-pdf.pdf
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- Publié le Jui 06, 2022
- Catégorie Religion
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