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Plan Système logique Algèbre de Boole Portes logiques Fonctions logiques S

Plan Système logique Algèbre de Boole Portes logiques Fonctions logiques Simplification de fonctions logiques Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 1 1. Système logique 1) Principe de la logique (postulat) Être logique, c’est avoir une réponse unique sans contradiction : - Pas d’Affirmation et de Négation en même temps !!! - Pas de Vrai et de Faux en même temps !!! Exemple: Une lampe ne peut jamais être Allumée (ON) et Eteinte (OFF) en même temps. On voit clairement une variable logique (ou variable booléenne) : 0 OFF 1 ON Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 2 1. Système logique 2) Quelque définitions Variable binaire est une variable qui ne peut prendre que deux et seulement deux valeurs. Variable logique est une variable binaire qui peut prendre deux états associés au caractère vrai ou faux d’un événement. Etat logique est une valeur attribuée à une variable logique. L’état d’une variable peut être vrai ou faux. On représente l’état vrai par “1” et l’état faux par “0”. Signal logique est une quantité physique qui représente une variable logique dans l’un ou l’autre de ses deux états possibles. Système logique (système binaire) est un ensemble de composants qui effectuent des fonctions sur des signaux logiques (variables d’entrée) dans le but de stocker, communiquer ou de transformer de l’information (variables de sortie). Variable d’entrée (ou simplement entrée) : information à 2 états reçue par un système logique Variable de sortie (ou simplement sortie) : information à 2 états générée par un système logique Fonction logique : relation logique entre une sortie et une ou plusieurs entrées. Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 3 1. Système logique Note 1 : Un système logique traite l’information de façon logique. Note 2 : Pour étudier un système logique, il faut connaître les fonctions de base (les composants) et le langage mathématique qui permet de décrire un comportement sous forme d’équations. Exemple: Soit un additionneur F. Chapitre 3: Fonctions logiques X Y F(X,Y) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 F(X,Y) F(0,0)= 0 F(0,1)= 1 F(1,0)= 1 F(1,1)= 0 Architecture des ordinateurs 4 1. Système logique 3) Circuit et fonction logique Les machines numériques sont constituées d’un ensemble de circuits électroniques. Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée (addition, comparaison ,….). La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction. Pour concevoir et réaliser un circuit on doit avoir un modèle mathématique de la fonction réalisée par ce circuit. Le modèle doit prendre en considération le système binaire. Le modèle mathématique utilisé est celui de Boole (algèbre de Boole). Chapitre 3: Fonctions logiques Circuit F(A,B) A B Architecture des ordinateurs 5 2. Algèbre de Boole George Boole (1815-1864) est un mathématicien autodidacte anglais qui voulait faire un lien entre la logique (étude de la validité du raisonnement) et la représentation symbolique utilisée en mathématique. Il a écrit deux ouvrages sur le sujet : Mathematical Analysis of Logic (1847) An Investigation of the Laws of Thought (1854) Ces travaux n’ont pas connu d’intérêt particulier auprès de la communauté mathématique et scientifique de son époque. C’est 70 ans plus tard que les travaux de Boole gagnent l’intérêt de tous, lorsque Claude Shannon fait le lien entre l’algèbre de Boole et la conception des circuits. Claude Shannon montre que l’algèbre de Boole peut-être utilisée pour optimiser les circuits. Cette nouvelle avenue de recherche va ouvrir la voie vers le numérique. En utilisant l’algèbre de Boole avec le système binaire, on peut concevoir des circuits capables d’effectuer des opérations arithmétiques et logiques. Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 6 2. Algèbre de Boole Propositions vraies ou fausses et opérateurs sur ces préposition Algèbre de Boole Systèmes binaires: Vrai=1, Faux=0. C’est le cas des systèmes numériques (circuits logiques). L’ordinateur est constitué de circuits logiques dont l’élément de base est le transistor à deux états: Bloqué=0, Conducteur=1. Unité d’un système informatique Circuit logique Porte logique Transistor Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 7 2. Algèbre de Boole Niveau logique : Lorsque on fait l’étude d’un système logique il faut bien préciser le niveau du travail. Exemple 1 : Logique positive : Logique négative lampe allumée : 1 lampe allumée : 0 lampe éteinte : 0 lampe éteinte : 1 Exemple 2 : Les deux états d’une variable booléenne en électronique peuvent être reliés à deux niveaux de tension : V(0) et V(1) pour les états 0 et 1. On distingue les logiques positive si on a V(1)>V(0) et une logique négative si on a V(1) < V(0). Note : Un niveau est défini en pratique par un domaine en courant ou en tension. En technologie TTL (Transistor-Transistor Logic) par exemple , un niveau sera dit haut s’il est compris entre +2 V et +5 V et un niveau sera bas s’il est inférieur à +0.8 V. Chapitre 3: Fonctions logiques Niveau Logique positive Logique négative H(Hight) Haut 1 0 L(Low) Bas 0 1 Architecture des ordinateurs 8 3. Portes logiques 1) Introduction Une porte logique est un circuit électronique élémentaire qui permet de réaliser la fonction d’un opérateur logique de base. Les portes logiques sont des circuits électroniques dont les fonctions de transfert (relation entre les entrées et les sorties) matérialisent les opérations de base appliquées à des variables électriques. Les portes logiques permettent de réaliser toutes les fonctions logiques qui sont câblées à l’intérieur d’un microprocesseur. Nous verrons la porte logique de base d’une seule variable : - NON Nous verrons les portes logiques de base de deux variables : - ET, OU Nous verrons ensuite des combinaisons de porte logiques de deux variables : - NON-ET, NON-OU - OU-Exclusif Note : Dans l’Algèbre de Boole il existe trois fonctions logiques de base : NON, ET, OU. Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 9 3. Portes logiques 2) La porte OU La fonction OU (OR), appelée aussi addition logique, a au moins deux entrées. La sortie d’une opération OU est dans l’état 1 si et seulement si au moins une de ses entrées est dans l’état 1. L’ opération OU (notée +) est représentée par le symbole indiqué sur la figure et est définie par la table de vérité. Note : Y=F(A,B) Chapitre 3: Fonctions logiques A B Y=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 = A+B Architecture des ordinateurs 10 3. Portes logiques Exercice 1: Vérifier les propriétés suivantes de la fonction OU : (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C Associativité A + B = B + A Commutativité A + A = A Idempotence A + 0 = A Elément neutre A + 1 = 1 Eléments de réponse: Exercice 2: Montrez que A+A+A+A+A+1=1 Chapitre 3: Fonctions logiques A B Y=A+B Z=B+A 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 A 1 Y=A+1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Architecture des ordinateurs 11 3. Portes logiques 3) La fonction ET La fonction ET (AND), appelé aussi produit logique, a au moins deux entrées. La sortie d’opération AND est dans l’état 1 si et seulement si toutes ses entrées sont dans l’état 1. L’ opération ET (notée •) est représentée par le symbole indiqué sur la figure et est définie par la table de vérité. Chapitre 3: Fonctions logiques = A•B A B Y=A•B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Architecture des ordinateurs 12 3. Portes logiques Exercice 1: Vérifier les propriétés suivantes de la fonction ET : (A • B) • C = A • (B • C) = A • B • C Associativité A • B = B • A Commutativité A • A = A Idempotence A • 1 = A Elément neutre A • 0 = 0 Exercice 2: Montrer que les opérations ET et OU sont distributives l’une par rapport à l’autre : A • (B + C) = (A • B) + (A • C) A + (B • C) = (A + B) • (A + C) Exercice 3: Établir la relation suivante (A+A+A)(A+A)(1+A)=A Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 13 3. Portes logiques 4) La fonction NON La fonction NON (NOT) a une seule entrée et une seule sortie. La sortie de l’ opération NON prend l’état 1 si et seulement si son entrée est dans l’état 0. La négation logique est représentée par un petit cercle à l’endroit où une ligne en entrée ou en sortie rejoint un symbole logique, comme par exemple sur la figure. La table décrit la table de vérité de la fonction NON. Chapitre 3: Fonctions logiques A 0 1 1 0 Architecture des ordinateurs 14 3. Portes logiques Chapitre 3: Fonctions logiques Architecture des ordinateurs 15 3. Portes logiques Chapitre 3: Fonctions logiques uploads/Philosophie/ wa0016.pdf