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Lycée Diderot Paris 19 RESSOURCES Génie Electronique Logique combinatoire Logiq

Lycée Diderot Paris 19 RESSOURCES Génie Electronique Logique combinatoire Logique combinatoire.DOC - 16/09/04 - Page 1 / 6 1. DEFINITION. Une logique est dite COMBINATOIRE si, à une combinaison des variables d'entrée correspond une et une seule combinaison des variables de sortie. 2. CODAGE. 2.1.Etat logique - Variable binaire. Une variable binaire est une variable qui ne peut prendre que deux états logiques stables différents: • l'un est appelé "état 0" ou "Zéro logique", l'autre "état 1" ou "Un logique". • Exemple : Un interrupteur pourra être représenté par une variable binaire car il n'a que deux états stables : ouvert ou fermé. 2.2.Conventions: En considérant une logique ‘positive’ : • Le "0 logique" correspondra à un état bas (absence de courant , de d.d.p.,...) • Le "1 logique" correspondra à un état haut (présence de courant, de d.d.p.,...). 2.3.Codes binaires. 2.3.1.Code Binaire Naturel ou pur : De même que le code décimal (base 10) ne dispose que de 10 caractères différents ("0" à "9") pour représenter un nombre, le code binaire n'en dispose que de 2 ("0" et "1"), appelé éléments binaires ou bits (contraction de Binary uniT). Les règles qui s'appliquent aux nombres décimaux sont fondamentalement les mêmes pour les nombres binaires et donc par exemple: En base 10 : 9 +1 23 +28 En base 2 (binaire): 1 +1 11 + 1 111 +101 Lorsque la capacité numérique d'une position est dépassée, on effectue une retenue sur la position suivante. On peut donc déduire le CODE BINAIRE NATUREL en ajoutant 1 pour passer d’une ligne à l’autre : bit3 bit2 bit1 bit0 23 22 21 20 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2.3.2. Code Binaire Réfléchi ou code Gray: On a vu précédemment qu'un bit pouvait être représentatif de l'état d'un élément physique ( ex: bouton-poussoir), il est donc facile d'imaginer que le nombre binaire 1011 représente l'état de 4 circuits de commutation. Par exemple: – l'interrupteur "a" est actionné (1) – le bouton-poussoir "b" est au repos (0) – le fin de course "c" est en butée (1) – la clé "d" est sur "ON" (1) D'après le code binaire naturel le nombre binaire suivant est : 1100 et on constate que 3 bits changent d'état en même temps, ce qui est tout à fait impossible technologiquement pour des éléments physiques. On utilisera alors pour représenter toutes les combinaisons binaires possibles d'une structure qui évolue dans le temps un code où un seul bit change à la fois : le CODE BINAIRE REFLECHI ou code GRAY : d c b a 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 Remarque : D'autres bases de calcul sont fréquemment utilisées en électronique. Elles seront l'objet d'une étude ultérieure. 2.4.Table de vérité. Soit la structure électrique : Les conditions de fonctionnement de L pourront être représentées par les tables de vérité suivantes: U a b c L c b a L c b a L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 3. LES FONCTIONS LOGIQUES. 3.1.L'algèbre binaire ou de Boole (Mathématicien 1815-1864). • C'est une méthode mathématique de résolution de calculs portant sur des variables qui ne peuvent prendre que deux états ( 0 ou 1 ). • Toute variable (ou ensemble de variables), quelquesoit son état logique (0 ou 1), a un "inverse" appelé complément , représenté par le même symbole surélevé d'une barre horizontale. • Elle utilise quatre opérateurs élémentaires: OUI (Egalité) NON (PAS) ET (Intersection, produit logique) OU inclusif (Réunion, somme logique) Opérateur Table de vérité Modèle électrique Equation booléenne L = L = L = L = b a L 0 0 0 1 1 1 1 0 a L a L 0 1 a a b b a L L L a L 0 1 b a L 0 0 0 1 1 1 1 0 Lycée Diderot– Paris 19 – Génie Electronique - Logique combinatoire.DOC - 16/09/04- Page 2 / 6 3.2.Applications. a) L a b c = + . signifie que L sera à l'état haut ou 1 si : a = ET b = OU c = b) Représentation d'un circuit électrique par une équation: • Les conditions de fonctionnement du récepteur L peuvent être décrites par l'équation booléenne suivante: L = Lycée Diderot– Paris 19 – Génie Electronique - Logique combinatoire.DOC - 16/09/04- Page 3 / 6 • Remarque: un circuit hydraulique, pneumatique ou électronique pourra tout autant être représenté par une équation booléenne. U a b c d e L 3.3.Théorèmes résultant de la définition des opérateurs logiques. 3.3.1.Sur une variable: a = a a a a a a + = + = + = + = 0 1 a a a a a a ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅ = 0 1 3.3.2.Sur plusieurs variables: ( ) ( ) Commutativité a b a b Associativité a b c a b c Distributivité a b c a b c Absorption a a b a a b a a b a b a b dondance a b a c b c ⋅ = + = ⋅ ⋅ = + + = ⋅ + = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ⋅ + = ⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅+ ⋅= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Re 3.4.Théorèmes de DE MORGAN. a) Le complément d'une somme est égal au produit des compléments. a b c a b c + + = . . b) Le complément d'un produit est égal à la somme des compléments. a.b.c a b c = + + 3.5.Les fonctions logiques dérivées des fonctions élémentaires: Elles sont les plus utilisées dans la pratique. L = L = L = b a L 0 0 0 1 1 1 1 0 b a L 0 0 0 1 1 1 1 0 NAND (NON ET) NOR (NON OU) OU exclusif (X OR) Opérateur Table de vérité Modèle électrique Equation booléenne b a L 0 0 0 1 1 1 1 0 a b L a b L a b L a b 3.6.Représentation des fonctions logiques: a S a S a S b a S b S b Fonction Américains (ANSI) Amplificateur OU (OR) NON-OU(NOR) ET (AND) NON-ET (NAND) OU Exclusif (XOR) NON-OU Exclusif (XNOR) S a S a S a b S a b S a b S b a 1 1 >1 >1 & & =1 =1 Equation S = a . b S = a . b S = a + b S = a S = a S = a + b S = a . b S = a + b S = a « b S =a . b + a . b S = a + b . a + b S = a « b S a b S a b (NON) Inverseur Symbole internationaux (IEC) 4. Représentation de structures logiques à partir des fonctions usuelles ou logigramme : Lors de la conception de structures logiques, pour optimiser le nombre de composants utilisés, nous serons souvent amenés à n'utiliser qu'un seul type de fonction logique. Il sera alors nécessaire de transformer l'équation logique selon les règles du théorème de De Morgan pour obtenir une équation ne faisant apparaître que la fonction usuelle désirée. Application : Réaliser la structure définie par l'équation vue précédemment : L a b c = + . à l'aide de portes logiques NAND 2 entrées. 5. Lycée Diderot– Paris 19 – Génie Electronique - Logique combinatoire.DOC - 16/09/04- Page 4 / 6 TABLEAU DE KARNAUGH: Pour simplifier des équations logiques, il existe deux méthodes couramment utilisées: • La simplification logique qui nécessite plus la connaissance des règles booléennes, • Les tableaux de Karnaugh qui sont d'un emploi plus méthodique. 5.1.Règle de construction: • Le tableau de Karnaugh a 2n cases disposées en X colonnes et Y lignes: n: nombre de variables binaires, X : multiple de 2 (si possible 2 2 n ) Y = 2n / X • Exemple: cas de 4 variables table de vérité tableau de Karnaugh Lycée Diderot– Paris 19 – Génie Electronique - Logique combinatoire.DOC - 16/09/04- Page 5 / 6 d c b a S 0 0 0 0 S1 0 0 0 1 S2 0 0 1 0 S3 0 0 1 1 S4 0 1 0 0 S5 0 1 0 1 S6 0 1 1 0 S7 0 1 1 1 S8 1 0 0 0 S9 1 0 0 1 S10 1 0 1 0 S11 1 0 1 1 S12 1 1 uploads/Philosophie/ logique-combinatoire 1 .pdf