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La « théorie de Galois » et son enseignement Antoine Chambert-Loir Institut de

La « théorie de Galois » et son enseignement Antoine Chambert-Loir Institut de recherche mathématique de Rennes, Université de Rennes 1 Bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois 24 octobre 2011 La « théorie de Galois » et son enseignement — p. 1 Qu’est-ce que la théorie de Galois ? Gilles Châtelet : « La physique mathématique comme projet » L ’enchantement du virtuel. Mathématique, physique, philosophie édité par C. Alluni et C. Paoletti, ÉditionsRued’Ulm, 2010. « La théorie des équations de Galois constitue probablement un des plus beaux exemples du principe de dissymétrie créatrice en mathématiques. Cette théorie des équations (...) prend explicitement pour thème la symétrie et la dissymétrie de l’ensemble des racines d’une équation irréductible à coefﬁcients entiers, n + n−1n−1 + · · · + 0 = 0 (E) La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 2 Qu’est-ce que la théorie de Galois ? Gilles Châtelet : « La physique mathématique comme projet » L ’enchantement du virtuel. Mathématique, physique, philosophie édité par C. Alluni et C. Paoletti, ÉditionsRued’Ulm, 2010. « Rappelons que les travaux de Cauchy avaient déjà montré l’existence d’un domaine D(α1, . . . , αn) étendant les rationnels et sur lequel (E) se décompose : (−α1)(−α2) · · · (−αn) = 0 « L’indexation des racines sous la forme (α) est tout à fait arbitraire. Pour l’algébriste qui calcule sur les rationnels, ces racines n’existent pas. Ce qui existe c’est le domaine D(α1, . . . , αn) et la manière dont il s’obtient à partir de (E). La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 2 Qu’est-ce que la théorie de Galois ? Gilles Châtelet : « La physique mathématique comme projet » L ’enchantement du virtuel. Mathématique, physique, philosophie édité par C. Alluni et C. Paoletti, ÉditionsRued’Ulm, 2010. « À proprement parler, ces racines ne sont pas « possibles ». Elles créent « du possible » au sens où le domaine D(α1, . . . , αn) est d’autant plus vaste que les substitutions que peut effectuer un algébriste ne connaissant que les rationnels sont plus nombreuses. Ces substitutions peuvent être toutes les permutations qui échangent les racines. Il peut exister aussi des relations rationnelles « particulières » entre elles (équations « bicarrées », équations « réciproques »). La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 2 Qu’est-ce que la théorie de Galois ? Gilles Châtelet : « La physique mathématique comme projet » L ’enchantement du virtuel. Mathématique, physique, philosophie édité par C. Alluni et C. Paoletti, ÉditionsRued’Ulm, 2010. « Le groupe de symétrie de l’équation (groupe de Galois) est alors le plus grand groupe de substitutions qui respecte les relations entre les racines. Il traduit notre manque de discernement entre les (α) mais apprécie également la dimension du nouveau domaine de rationalité D(α1, . . . , αn) qu’il constitue. Il mesure bien l’espace de liberté engendré par le problème. Ces racines n’existent que virtuellement. Elles n’agissent pas comme individus mais par la potentialité de leurs échanges. » La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 2 Corps commutatifs La « théorie de Galois » vise à expliquer, classiﬁer, décrire les corps et leurs extensions. Corps : ensemble F muni d’une addition +, d’une multiplication ×, commutatives et associatives, la multiplication étant distributive par rapport à la multiplication. On suppose l’existence d’un élément neutre 0 pour l’addition, d’un élément neutre 1 pour la multiplication (et 1 ̸= 0), que tout élément a un opposé (pour +) et que tout élément non nul a un inverse (pour ×). La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 3 Corps commutatifs La « théorie de Galois » vise à expliquer, classiﬁer, décrire les corps et leurs extensions. Corps : ensemble F muni d’une addition +, d’une multiplication ×, commutatives et associatives, la multiplication étant distributive par rapport à la multiplication. On suppose l’existence d’un élément neutre 0 pour l’addition, d’un élément neutre 1 pour la multiplication (et 1 ̸= 0), que tout élément a un opposé (pour +) et que tout élément non nul a un inverse (pour ×). La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 3 Corps commutatifs : exemples Exemples : 1) le corps Q des nombres rationnels ; 2) ceux R et C des nombres réels ou des nombres complexes ; 3) les corps de restes Z/pZ (p nombre premier), les corps ﬁnis Fq (q puissance d’un nombre premier) ; 4) le corps des fonctions méromorphes sur une surface de Riemann connexe, celui des fonctions rationnelles sur une variété algébrique irréductible... La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 4 Extensions de corps Extension de corps : application F ,→F′ où F et F′ sont deux corps, envoyant 0 sur 0, 1 sur 1 et compatible à l’addition et à la multiplication. Exemples : 1) si P est un polynôme à coefﬁcients entiers, l’inclusion de Q dans le sous-corps Q(α1, . . . , αn) de C engendré par les racines α1, . . . , αn de P ; 2) si q est une puissance d’un nombre premier p, l’inclusion de corps ﬁnis Fp ,→Fq ; 3) si ƒ : M′ →M est un morphisme non constant de surfaces de Riemann connexes compactes, l’extension ƒ ∗: C(M) ,→C(M′) obtenue par composition par ƒ des fonctions méromorphes sur M ; 4) l’extension analogue si ƒ : M′ →M est un morphisme dominant de variétés algébriques irréductibles. La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 5 Extensions de corps Extension de corps : application F ,→F′ où F et F′ sont deux corps, envoyant 0 sur 0, 1 sur 1 et compatible à l’addition et à la multiplication. Exemples : 1) si P est un polynôme à coefﬁcients entiers, l’inclusion de Q dans le sous-corps Q(α1, . . . , αn) de C engendré par les racines α1, . . . , αn de P ; 2) si q est une puissance d’un nombre premier p, l’inclusion de corps ﬁnis Fp ,→Fq ; 3) si ƒ : M′ →M est un morphisme non constant de surfaces de Riemann connexes compactes, l’extension ƒ ∗: C(M) ,→C(M′) obtenue par composition par ƒ des fonctions méromorphes sur M ; 4) l’extension analogue si ƒ : M′ →M est un morphisme dominant de variétés algébriques irréductibles. La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 5 Extensions de corps Extension de corps : application F ,→F′ où F et F′ sont deux corps, envoyant 0 sur 0, 1 sur 1 et compatible à l’addition et à la multiplication. Exemples : 1) si P est un polynôme à coefﬁcients entiers, l’inclusion de Q dans le sous-corps Q(α1, . . . , αn) de C engendré par les racines α1, . . . , αn de P ; 2) si q est une puissance d’un nombre premier p, l’inclusion de corps ﬁnis Fp ,→Fq ; 3) si ƒ : M′ →M est un morphisme non constant de surfaces de Riemann connexes compactes, l’extension ƒ ∗: C(M) ,→C(M′) obtenue par composition par ƒ des fonctions méromorphes sur M ; 4) l’extension analogue si ƒ : M′ →M est un morphisme dominant de variétés algébriques irréductibles. La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 5 Extensions de corps Extension de corps : application F ,→F′ où F et F′ sont deux corps, envoyant 0 sur 0, 1 sur 1 et compatible à l’addition et à la multiplication. Exemples : 1) si P est un polynôme à coefﬁcients entiers, l’inclusion de Q dans le sous-corps Q(α1, . . . , αn) de C engendré par les racines α1, . . . , αn de P ; 2) si q est une puissance d’un nombre premier p, l’inclusion de corps ﬁnis Fp ,→Fq ; 3) si ƒ : M′ →M est un morphisme non constant de surfaces de Riemann connexes compactes, l’extension ƒ ∗: C(M) ,→C(M′) obtenue par composition par ƒ des fonctions méromorphes sur M ; 4) l’extension analogue si ƒ : M′ →M est un morphisme dominant de variétés algébriques irréductibles. La « théorie de Galois » et son enseignement — Qu’est-ce que la « théorie de Galois » ? p. 5 Éléments algébriques Considérons une extension de corps F ,→F′. Un élément α de F′ est algébrique sur F s’il est solution dans F′ d’une équation uploads/Philosophie/ galois-enseignement-pdf.pdf