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Cours : Structure et fonctionnement des ordinateurs 1 Youssef Lachhab BTS DSI :

Cours : Structure et fonctionnement des ordinateurs 1 Youssef Lachhab BTS DSI : Lycée Hassan 2 Ch1 : Numération et codage 11 Variable logique Variable binaire qui peut prendre deux états associés au caractère vrai ou faux d’un événement. État Logique Valeur attribuée à une variable logique. L’état d’une variable peut être vrai ou faux. On représente l’état vrai par "1" et l’état faux par "0". Une variable dans son état vrai est dite "active". Opérateurs Logiques Les opérateurs logiques de base sont ET, OU et NON. Ch1 : Numération et codage 12 Fonction Logique Ensemble de variables logiques reliées par des opérateurs logiques. Une fonction logique ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Signal Logique Quantité physique qui représente une variable logique dans l'un ou l'autre de ses deux états possibles. Système Logique Ensemble de composants qui effectuent des fonctions sur des signaux logiques dans le but de stocker, communiquer ou de transformer de l'information. Ch2 : La logique combinatoire ET S = A•B = AB S est vraie si A est vraie et B est vraie. A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 OU S = A + B S est vraie si A est vraie ou B est vraie, ou les deux. A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 B A S Symbole : A S Symbole : B 39 Ch2 : La logique combinatoire Symbole : Symbole : NON-ET S = A · B =AB S est vraie si (A ou B) est fausse S est vraie si A est fausse ou B est fausse, ou les deux. A S 0 1 1 0 A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NON S = A S est vraie si A est fausse A S A S A S B 40 41 Ch2 : La logique combinatoire Symbole : Symbole : S = AB +AB NON-OU S = A + B S est vraie si (A et B) est fausse. S est vraie si A est fausse et B est fausse. A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 B XOR (OU EXCLUSIF) S = A B S est vraie si A est vraie ou B est vraie, mais pas les deux. A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ou exclusif est : B Remarque : L'expression S = A B est non-analytique. L'expression analytique du A S A S 42 Ch2 : La logique combinatoire A S Symbole : B Remarque : L'expression S = A B est non-analytique. L'expression S = AB +AB XNOR (NON-OU EXCLUSIF) S = A B = A B S est vraie si A et B sont vraies ou fausses. A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 analytique du non ou exclusif est : Généralisation À l'exception des portes XOR et XNOR, ces notions peuvent être généralisées pour des portes à plusieurs entrées. Ch2 : La logique combinatoire 2.2 Écriture et lecture de schémas chaque opération est remplacée par son symbole en respectant la hiérarchie des opérations 43 Ch2 : La logique combinatoire 3. Algèbre de Boole 1. Propriétés de l'algèbre booléenne A + 0 = A A • 0 = 0 A + 1 = 1 A • 1 = A A + A = A A • A = A A • A = 0 A + A = 1 A = A Hiérarchie des opérations Dans une expression sans parenthèses, on effectue d'abord les opérations "ET" et, par la suite, les "OU". 44 Ch2 : La logique combinatoire Induction parfaite Dans le domaine linéaire, il n'est pas possible de prouver une équation en la vérifiant pour toutes les valeurs des variables. En logique, puisque les variables sont limitées à deux états, on peut prouver une relation en la vérifiant pour toutes les combinaisons de valeurs pour les variables d'entrée. Équivalence Deux fonctions sont équivalentes si on peut leur faire correspondre la même table de vérité. Si F = A ·B Et Alors G = A + B F = G 45 et on dit que F est équivalente à G. Ch2 : La logique combinatoire Complémentarité Deux fonctions sont dites complémentaires si l'une est l'inverse de l'autre pour toutes les combinaisons d'entrées possibles. Si F = A ·B Et G = A +B Alors F = G et on dit que F et G sont complémentaires. Dualité Deux expressions se correspondent par dualité si l'on obtient l'une en changeant dans l'autre, les "ET" par des "OU", les "OU" par des "ET", les "1" par des "0" et les "0" par des "1". Si on sait que A · B = A +B Alors, on saura que A + B = A ·B 46 Ch2 : La logique combinatoire Associativité A + B + C = (A + B) + C = A + (B +C) A • B • C = (A • B) • C = A • (B •C) Commutativité A + B = B +A A • B = B •A (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C A • (B+C)=A•B+A•C A+(B • C)=(A+B)•(A+C) Distributivité A • (B + C) = A • B + A • C = AB +AC 47 Ch2 : La logique combinatoire Associativité A + B + C = (A + B) + C = A + (B +C) A • B • C = (A • B) • C = A • (B •C) Commutativité A + B = B +A A • B = B •A Distributivité A • (B + C) = A • B + A • C = AB +AC Théorème de DeMorgan Première Forme : Deuxième Forme : A+B+C+… = A·B·C·… A·B·C·…= A+B+C+… 47 Ch2 : La logique combinatoire Exercice : a+ab = a+ab = a.(a.b) = (a+b).(a+c) = ac+ab = 47 Ch2 : La logique combinatoire La décomposition de Shannon : Fonction Logıque : f(a,b,c,d)=ab+acb+d f(x1,x2,x3,.................xn)=x1f(0,x2,x3,..........,xn)+x1f(1,x2,x3,.......xn) Loi de Morgan : a+b=a.b f(a,b)=a+b f(a,b)=af(0,b)+af(1,b) =a.(0+b)+a(a+b) =a.b+a.1 = a.b 48 Ch2 : La logique combinatoire Forme canonique Une expression est sous sa forme canonique si tous les symboles qui représentent les variables apparaissent dans tous les termes qui la constitue. Lorsqu'une équation est écrite à partir de sa table de vérité, elle est dans sa forme canonique.  Si une fonction est une somme de produits, on a une somme canonique. Exemple :  Si une fonction est un produit de somme, on a un produit canonique. Exemple : 48 Ch2 : La logique combinatoire 48 Écriture par table de vérité : La fonction vaut 1 si le nombre de 1 est supérieur au nombre de 0. Tableau 1 : nombre de 1 > au nombre de 0 Ch2 : La logique combinatoire Forme canonique : A. Définition : c'est l'écriture algébrique de la fonction logique sous la forme de : somme de produit, première forme canonique, produit de somme, deuxième forme canonique, de portes NAND, troisième forme canonique, de portes NOR, quatrième forme canonique. B. Applications : Si on reprend la fonction du Tableau 1, on peut écrire : première forme canonique, on recherche les combinaisons des variables logiques sous la forme de somme de produit qui amènent la fonction logique à la valeur 1, 48 Ch2 : La logique combinatoire deuxième forme canonique, on recherche les combinaisons des variables logiques sous la forme de produit de somme qui amènent la fonction logique à la valeur 0, , 48 Ch2 : La logique combinatoire 48 Soit (E; +; ×; ) une algèbre de Boole. Une fonction booléenne f de n variables booléennes de En dans E est une application qui à tout n-uplet de E fait correspondre un élément de E construit à l’aide des opérations booléennes. Exemples : f (a ,b, c ) = a + ab + bc g ( a ,b, c , d ) = abc + bcd + ad + b Ch2 : La logique combinatoire 48 Mintermes et maxtermes. Un « minterme » de n variables booléennes est un produit comportant n facteurs, chaque facteur correspondant à une variable donnée ou à son complémentaire. Un « maxterme » de n variables booléennes est une somme comportant n termes, chaque terme correspondant à une variable donnée ou à son complémentaire. Exemple. Soit a, b, c et d quatre variables booléennes. sont quatre mintermes construits à partir des variables a, b, c et d sont trois maxtermes construits à partir des variables a, b, c et d. Remarque : à partir de n variables booléennes, on peut élaborer 2n mintermes et 2n maxtermes. Ch2 : La logique combinatoire 48 Formes canoniques disjonctive et conjonctive d’une fonction booléenne. Soit f une fonction booléenne de En dans E. Il est possible d’écrire f de façon unique sous la forme d’une somme de mintermes. Cette somme est appelée « uploads/Philosophie/ chapitre-2-la-logique-combinatoire-ordinateur.pdf