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Les obstacles ´ epist´ emologiques, probl` emes et ing´ enierie didactique Guy

Les obstacles ´ epist´ emologiques, probl` emes et ing´ enierie didactique Guy Brousseau To cite this version: Guy Brousseau. Les obstacles ´ epist´ emologiques, probl` emes et ing´ enierie didactique. Guy Brousseau. La th´ eorie des situations didactiques, La pens´ ee sauvage, pp.115-160, 1998, Recherches en Didactiques des Math´ ematiques. <hal-00516595v2> HAL Id: hal-00516595 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00516595v2 Submitted on 1 Jan 2011 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entiﬁc research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diﬀusion de documents scientiﬁques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸ cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es. Les obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique Guy Brousseau 1998 Référence bibliographique de ce texte Brousseau, G. (1998). Les obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique. In G. Brousseau, Théorie des situations didactiques (pp. 115-160). Grenoble La Pensée Sauvage Pour en savoir plus sur les obstacles épistémologiques Le sujet de cet article a été traité à plusieurs reprises au cours des recherches de l'auteur. Ces différents textes, publiés ou non, ont été réunis en un dossier les rassemblant autour d'une présentation et de commentaires récents de l'auteur. Le lecteur trouvera des liens vers les éléments de ce dossier : sur http://www.guy- brousseau.com facilement accessible dans la catégorie « dossiers thématiques » FICHE SIGNALÉTIQUE DE LA PREMIÈRE PUBLICATION Origine Ce texte reprend et complète plusieurs textes précédemment publiés sous des versions en partie différentes : - Brousseau, G. (1976). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. In J. Vanhamme & W. Vanhamme (Eds.), La problématique et l'enseignement des mathématiques. Comptes rendus de la XXVIIIe rencontre organisée par la Commission Internationale pour l'Etude et l'Amélioration de l'Enseignement des Mathématiques (pp. 101- 117). Louvain la Neuve ; - Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherche en Didactique des Mathématiques, 4(2), 165-198 Catégorie Texte publié Etat Conditionné par l’auteur Titre du texte Les obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique. Langue Français Résumé Dans cet article, l’auteur examine et discute la reprise en didactique des mathématiques de la notion d’obstacle épistémologique forgée par Gaston Bachelard (1938). Pour cela, il met en évidence certains caractères spécifiques de cette notion, notamment le fait qu’un obstacle épistémologique soit constitutif de la connaissance achevée. Par là, l’identification et la caractérisation d’un obstacle sont essentielles à l’analyse et à la construction des situations didactiques. Ces questions sont illustrées par les cas particuliers de la construction des nombres décimaux, rationnels et relatifs Equipe de recherche DAEST, Université Victor Segalen, Bordeaux 2 Nom de la revue ou de l’ouvrage La théorie des situations didactiques Editeurs La pensée sauvage Editions, 12 Place Notre Dame, BP 141, 38002 GRENOBLE cedex http://www.penseesauvage.com/Librairie/index.php Date de publication 1998 Page 115-160 Mots-Clés Obstacle épistémologique ; obstacle didactique ; apprentissage ; erreur ; nombres décimaux ; nombres rationnels ; nombres relatifs. 1 OBSTACLES ÉPISTÉMOLOGIQUES, CONFLITS SOCIO-COGNITIFS ET INGÉNIERIE DIDACTIQUE GUY BROUSSEAU UNIVERSITÉ DE BORDEAUX I 1. Obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques 1.1 la notion de problème 1.1.1 Conceptions classiques de la notion de problèmes Un élève ne fait pas de mathématiques s'il ne se pose et ne résoud pas de problèmes. Tout le monde est d'accord là-dessus. Les difficultés commencent lorsqu'il s'agit de savoir quels problèmes il doit se poser, qui les pose, et comment. Pour simplifier ces difficultés, il semble que les didacticiens des mathématiques essaient, depuis quelque temps, de projeter la collection des problèmes imaginables sur un sous-espace produit des composantes suivantes : Les intentions méthodologiques du professeur C'est la composante décrite au début du "livre du problème" de Glaeser et de ses collaborateurs (Exercices d'exposition, problèmes, exercices didactiques, exécution de tâches techniques, exemples d'illustration, exercices d'application, manipulations, tests, sujets de compositions, d'examens, de concours.) (IREM de Strasbourg, 1973). Les intentions didactiques et les objectifs (Par exemple ceux de Bloom) : acquisitions de connaissances, meilleure compréhension, analyse, etc.). Le contenu mathématique Presque toujours la question consiste à demander à l'élève d'établir une formule vraie dans une théorie en cours d'étude. Le contenu d'un problème est donc à priori définissable comme un couple (T,f) T étant une théorie supposée explicitée dans le cours, et f la formule à trouver, à établir ou à placer dans une démonstration de T. Cette conception permet d'abord de placer certains problèmes les uns par rapport aux autres, selon une structure en treillis, à condition d'avoir une axiomatique convenable de la théorie à enseigner : les discussions sur le choix de la meilleure axiomatique sous-tendent la plupart des recherches sur les programmes depuis des années. "La meilleure axiomatique" serait celle qui permettrait avec le moins d'efforts d'apprentissage ou d'enseignement, d'engendrer la collection des théorèmes-problèmes, d'examen ou de contrôle, fixée par un consensus social. Faut-il prévoir plusieurs théories particulières que l'on reliera ensuite (tendance "classique"), ou une théorie unitaire générale dont on déduit les autres (tendance "moderne") ? 2 Faut-il beaucoup d'axiomes faibles et bien rangés, (Dieudonné : "algèbre linéaire et géométrie élémentaire"2 ) ou peu d'axiomes puissants (Choquet : "l'enseignement de la géométrie"3) ? Des axiomes "évidents" ou des axiomes "très élaborés" ? En l'absence d'une théorie convenable de la connaissance, accompagnant une théorie pertinente de l'apprentissage, ces discussions n'ont jamais donné lieu à des études expérimentales scientifiques. Cette conception permet en outre de distinguer d'une part, le couple (T, f) qui caractérise le problème, et d'autre part, la démonstration de T | f, laquelle peut faire l'objet d'une étude mathématique ou métamathématique. Et cette distinction va servir de base à une nouvelle décomposition du contenu mathématique, suivant deux critères différents, mais voisins : • le domaine d'application : (la théorie T), opposé à la "structure" mathématique ou logique opérant sur T. • le modèle mathématique (au sens de la logique mathématique), opposé au langage. Ces paires de caractères opposés correspondent à des traits distinctifs sur lesquels les enseignants s'appuient spontanément : abstrait-concret, contenu-formel, théorique-pratique, etc... mais leur mise en oeuvre n'a jamais fourni ni de typologies utilisables, ni d'indices objectifs. Composante mathématique En fait, toutes les tentatives de descriptions rationnelles et formelles des mathématiques sont utilisées pour essayer de bâtir des variables intermédiaires, qui, sans être le contenu lui-même, permettraient de l'engendrer à moindre frais. La conception des problèmes sous la forme T| f, conduit souvent à assimiler les hypothèses à ce qui est connu, les conclusions à ce qui est cherché (ou l'inverse) et la résolution à un cheminement qui coïnciderait facilement avec la démonstration cherchée. Certaines démonstrations peuvent être obtenues sans coup férir par l'application d'une suite finie de spécifications connues à l'avance : il s'agit alors d'un algorithme, automate producteur de la démonstration particulière cherchée. Dans ce cas, on peut faire la description, classique et merveilleusement simple et gratifiante pour le professeur, de l'activité cognitive de l'élève, de l'apprentissage et du rôle de l'enseignant : le maître apprend à l'élève, qui le mémorise, l'algorithme qui permet d'établir les théorèmes. Composante heuristique Mais pour d'autres démonstrations, il n'existe pas de tels algorithmes. Pour ne pas renoncer au modèle d'acquisition précédent, on peut imaginer que la démonstration est conduite par des "intuitions" qui joueront un peu le rôle des algorithmes. Ces intuitions pourront être rationalisées localement, lorsque la mise en oeuvre d'une théorie déjà constituée fournira la démonstration cherchée ou une partie de celle-ci (on appliquera un théorème), le choix des théories ou des structures étant lui-même guidé par des heuristiques, que l'on peut, après coup, invoquer pour justifier la démarche suivie. Malgré leur caractère un peu had hoc, ces 2 Paris : Hermann, 1964 3 Paris : Hermann, 1964 3 concepts ne manquent pas d'intérêt, comme le montrent dans cette rencontre entre autres, les exposés de Glaeser, de Paquette, Ciosek, Wilson et Janvier4. 1.1.2 Critique de ces conceptions La validité d'une telle décomposition classificatoire est contestable : malgré les facilités qu'elle procure, elle a conduit à accepter des présupposés douteux en séparant des éléments qui fonctionnent ensemble. Le sujet Le sujet — l'élève — est absent de certaines de ces conceptions, où il n'apparaît que comme un récepteur, un enregistreur extrêmement simplifié que le savoir acquis ne modifie pas sensiblement, ni surtout pas structurellement. La signification et le sens De même (et par voie de conséquence) la signification de la mathématique disparaît : ce qui fait, non pas seulement la vérité, mais l'intérêt d'un théorème (ce que Gonseth (1946) appelait le caractère idoine d'une connaissance mathématique), ce qui fait que cette connaissance existe comme solution optimale dans le champ défini par un certain ensemble de contraintes relatives au sujet et/ou à la connaissance elle-même, (un objet au sens de Thom (1972) : une solution à un problème) ce qui dit l'intérêt du problème lui-même, etc. Le sens d'une connaissance mathématique se définit, non seulement par la collection des situations où cette connaissance est uploads/Philosophie/ brousseau-1998-obstacles-problemes-et-ingenierie.pdf