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eduscol.education.fr/ D0015 Mathématiques Collège - Ressources pour les classe

eduscol.education.fr/ D0015 Mathématiques Collège - Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e du collège - - Raisonnement et démonstration - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des enseignements et de la formation des enseignants. Toute reproduction, même partielle, à d'autres fins ou dans une nouvelle publication, est soumise à l'autorisation du directeur général de l'Enseignement scolaire. Juin 2009 Raisonnement et démonstration au collège SOMMAIRE Introduction : ce que dit le programme de collège........................................................................1 1. Le raisonnement mathématique................................................................................................ 2 a) Différents types de raisonnement .........................................................................................................................2 b) Démarche d’investigation et raisonnement ..........................................................................................................3 c) Raisonnement et démonstration formalisée..........................................................................................................6 d) Démonstration et argumentation..........................................................................................................................9 e) Énoncés ouverts et raisonnement ........................................................................................................................10 2. Le raisonnement dans les différents champs des mathématiques du collège ........................13 a) Dans le domaine de la géométrie.........................................................................................................................13 b) Dans le domaine du calcul ..................................................................................................................................16 c) Le raisonnement dans le domaine de la gestion de données, des probabilités et des statistiques........................19 3. Raisonnement et évaluation.....................................................................................................23 a) Qui valide, qui évalue le raisonnement, la démarche ?........................................................................................ 24 b) Quel « support » choisi (écrit, oral) ? .................................................................................................................. 24 ANNEXE : Le raisonnement en mathématiques et ailleurs .......................... 26 1. Raisonnement et pratique sociale ............................................................................................26 2. Le français et les sciences humaines........................................................................................28 a) Le français .......................................................................................................................................................... 28 b) L’histoire et la géographie .................................................................................................................................. 28 3. Les sciences expérimentales et la technologie.........................................................................29 a) Les sciences expérimentales............................................................................................................................... 29 b) La technologie.................................................................................................................................................... 29 Introduction : ce que dit le programme de collège Le programme de mathématiques du collège accorde une place centrale à la résolution de problèmes. Il insiste en particulier fortement sur l’importance de la résolution de problèmes dans l’acquisition du socle commun de connaissances et de compétences. La résolution de problèmes constitue en effet, dans le champ des mathématiques, la mise en œuvre de la méthode d’investigation. Cette nécessité de structurer l’activité mathématique des élèves autour de la résolution de problèmes est affirmée dans l’introduction générale des programmes de mathématiques, mais est aussi rappelée dans l’en-tête de chaque partie du programme de chaque classe avec des indications précises sur les objectifs assignés. La résolution de problèmes, en mathématiques, recouvre plusieurs activités qui, toutes, s’appuient sur le raisonnement de l’élève. Ces activités, parfois successives mais souvent imbriquées, peuvent se décliner en compétences : • lire, interpréter et organiser l’information ; • s’engager dans une démarche de recherche et d’investigation ; • mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve ; • communiquer par des moyens variés et adaptés – aptes à convaincre – la solution du problème. À cet égard, l’introduction du programme de mathématiques décrit deux étapes dans le raisonnement mathématique : Direction générale de l'enseignement scolaire 1/30 « […] deux étapes doivent être clairement distinguées : la première, et la plus importante, est la recherche et la production d’une preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré. En effet des préoccupations et des exigences trop importantes de rédaction risquent d’occulter le rôle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production d’une preuve. C’est pourquoi il est important de ménager une grande progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. » et distingue le raisonnement – constitué de la recherche, de la découverte et de la production d’une preuve – de la démonstration formalisée qui est la forme aboutie – structurée sous forme déductive et rédigée – de ce raisonnement. C’est dans ce sens que l’expression « démonstration formalisée » est utilisée dans ce document. L’objet de ce document ressource pour la classe est d’essayer de dégager comment on peut, dans les classes de collège, favoriser le raisonnement et ouvrir ainsi le champ de la résolution de problèmes au plus grand nombre d’élèves, y compris à ceux qui ont des difficultés à entrer dans les codes de la rédaction d’une démonstration. On peut rappeler à cet égard que « la mise en forme écrite [d’une preuve] ne fait pas partie des exigibles » du socle commun. Ainsi, ce document a l’ambition de rappeler que : • raisonner en mathématiques, ce n’est pas seulement pratiquer le raisonnement déductif, • un raisonnement déductif peut être considéré comme complet même s’il n’a pas une mise en forme canonique, et de contribuer à la prise en compte dans les classes de cette diversité. 1. Le raisonnement mathématique a) Différents types de raisonnement On peut distinguer, dans le domaine scientifique, deux types de raisonnement : • le raisonnement par induction et présomption : de l’étude de plusieurs exemples concordants (et si possible représentatifs) on déduit, par présomption, une propriété générale ; • le raisonnement par déduction : à partir de propriétés reconnues comme vraies, par enchaînement logique, on déduit une propriété. Dans le domaine des sciences expérimentales, le raisonnement par induction se suffit à lui-même si la méthode employée est suffisamment rigoureuse : la présomption qui résulte d’observations concordantes débouche sur la mise en place d’un protocole expérimental destiné à vérifier les « hypothèses » émises. L’expérience doit être reproductible et la preuve qui en résulte s’apparente à une preuve statistique (par estimateur ou intervalle de confiance). En mathématiques, le raisonnement inductif ne se conçoit, en général, que comme une première étape1, conduisant à une conjecture. Il restera ensuite, par un raisonnement déductif, à démontrer la véracité de cette conjecture. Alors que le raisonnement déductif fonctionne selon le schéma classique : « Sachant que (A est vraie) et que (A implique B) est vraie, je déduis que (B est vraie) », le raisonnement inductif fonctionne selon un schéma présomptif : « Constatant que dans les exemples où (A est vraie), alors (B est vraie), je présume que (A implique B) est vraie » ou un schéma explicatif : « Sachant que (A implique B) est vraie, j’explique que (B est vraie) en présumant que (A est vraie) » 1 Il y a une exception notable : celle de l’invalidation, par la production d’un contre-exemple, d’une propriété universelle. Direction générale de l'enseignement scolaire 2/30 Le raisonnement inductif prend toute sa place en mathématiques dans la phase de recherche, en particulier sous la forme du schéma explicatif dans le raisonnement par chaînage arrière – essentiel en géométrie2. Dans la phase de recherche, cela conduirait à se poser la question de ce qu’il suffirait d’avoir pour emporter la conclusion. En revanche, une preuve apportée sur un exemple générique est une forme de raisonnement déductif, car il s’agit d’une démonstration faite sur un exemple mais transférable. Dans ce cadre, il faut faire identifier aux élèves en quoi l’exemple est générique, par exemple pour établir des propriétés des opérations, alors même que le professeur choisit de ne pas formaliser avec tous les élèves la généralisation du raisonnement utilisant le recours au calcul littéral. Dans ce cas, la démonstration formalisée, telle qu’elle est définie plus haut, n’est pas faite. Lorsqu’on demande une démonstration à un élève, on lui demande de s’engager au préalable dans une phase d’investigation pendant laquelle la démarche est essentiellement inductive. En revanche, une fois la preuve trouvée, seul le raisonnement déductif est utilisé dans la phase de mise en forme. Une des difficultés majeures pour le professeur va donc consister à faire vivre dans la classe des moments où il va faire pratiquer à ses élèves des raisonnements inductifs (notamment pour expliquer comment on trouve des résultats), tout en devant les leur refuser et leur apprendre à les remplacer par des raisonnements déductifs dans les démonstrations. En fait, pour l’élève, la difficulté est double : • il faut passer d’un raisonnement inductif à un raisonnement déductif pour établir la preuve ; • il faut ensuite mettre en forme ce raisonnement déductif pour en faire une démonstration c’est- à-dire une preuve communicable. b) Démarche d’investigation et raisonnement Dans le domaine scientifique, la démarche d’investigation occupe une place essentielle à chaque fois qu’une question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles. La mise en œuvre d’une telle démarche dans une séquence d’enseignement doit déboucher sur des acquisitions de connaissances et de compétences. En mathématiques, elle trouve véritablement sa place dans la résolution de problèmes (ou de questions ouvertes) et doit donner l’occasion, par sa mise en œuvre, d’acquérir ou de consolider des compétences pour concevoir ou utiliser un raisonnement.  Les étapes possibles d’une démarche d’investigation en mathématiques Réflexion sur le problème posé : 1. appropriation du problème, vocabulaire, contexte, 2. confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), 3. recherche éventuelle d’informations sur le thème. Élaboration d’une conjecture : 1. recherche, avec mise en place éventuelle d’une première expérimentation, 2. émission de la conjecture, 3. confirmation, avec mise en place éventuelle d’une seconde expérimentation. Mise en place d’une preuve argumentée. Ce travail, inclus dans une séquence d’enseignement, est suivi d’un temps de synthèse identifiant clairement les points à retenir puis d’une institutionnalisation des acquis (notions, savoir-faire, démarches) et uploads/Philosophie/ acc-clg-raisonnement-amp-demonstration-109177.pdf