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Injective surjective bijective

PCSI -PCSI DNS n à rendre le lundi novembre - Ce qui suit fera o ?ce de cours sur les notions d ? injection surjection bijection Les exercices obligatoires à traiter en priorité sont les suivants et et et Les autres exercices n ? en sont pas moins intéressants pour autant et doivent mériter votre attention Dé ?nitions de injection-surjection-bijection On considère une application f A ? B o? A est l ? ensemble de départ ensemble de dé ?nition de l ? application de f et B l ? ensemble d ? arrivée de f Ainsi pour tout x ?? A f x existe de manière unique et f x ?? B On dit que f x est l ? image de x par l ? application f Si y ?? B et s ? il existe un élément x ?? A tel que y f x on dit que x est un antécédent de y par f Injection On dit que f A ? B est une injection application injective si deux éléments di ?érents de A ont toujours des images di ?érentes par f dans B ? Ceci se traduit par f est injective si ?? x x ?? A x x ?? f x f x ? Une dé ?nition équivalente obtenue par contraposition est si deux éléments de A ont la même image alors nécessairement ils sont égaux ? ie ?? x x ?? A f x f x ?? x x ? Une application f A ? B est donc injective lorsque tout élément y de B possède au plus ou un antécédent x dans l ? ensemble A x tel que f x y Exemple soit E un ensemble On note idE l ? application qui à tout x ?? E associe x c ? est à dire ??x ?? E idE x x L ? application idE est une injection car si x x ?? E alors idE x idE x ?? x x Exemple soit f R ? R avec f x x Pour x x ?? R si f x f x alors x ?? x ie x ?? x x xx x d ? o? x x ou x xx x cette dernière égalité entra? nant x x pas évident à véri ?er Dans tous les cas on a forcément x x Donc f est injective Méthode pour montrer qu ? une application f A ? B est injective on montre que pour tous les couples x x d ? éléments de A l ? hypothèse f x f x entraine nécessairement x x pour montrer qu ? une application f A ? B n ? est pas injective il su ?t de trouver deux éléments x et x distincts x x qui ont la même image par f ie véri ?ant f x f x autre méthode pour prouver que f est injective on montre que pour tout y ?? B l ? équation f x y ?