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ENSEMBLES 1 ENSEMBLES I) Déﬁnitions, Exemples Déﬁnition On appelle ensemble tou

ENSEMBLES 1 ENSEMBLES I) Déﬁnitions, Exemples Déﬁnition On appelle ensemble toute collection d’objets bien déterminés dans laquelle les objets sont uniques. Ces objets s’appellent éléments de l’ensemble, ou les points de l’ensemble. Remarque Si x est un point d’un ensemble A, on ecrit x ∈A et on lit "x appartient à A" ou "x est élément de A" ou "A contient x". Si x n’est pas un point d’un ensemble A, on ecrit "x / ∈A" et on lit "x n’appartient pas à A" ou "x n’est pas élément de A" ou "A ne contient pas x". 2 ENSEMBLES Remarque Un ensemble peut être ﬁni ou non. Les ensembles rencontrés dans la vie courante, si vastes soient-ils sont ﬁnis. En mathématiques, nous considérerons des ensembles non ﬁnis appelés inﬁnis. Un ensemble peut être concrêt ou imaginaire. Remarque Un ensemble E est bien déﬁni lorsqu’on possède un critère permettant d’aﬃrmer pour tout objet a, s’il appartient à l’ensemble E ou n’appartient pas à l’ensemble E. Remarque Un même être mathématique ne peut être à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble, c’est-à-dire nous nous interdisons d’écrire a ∈a. 3 ENSEMBLES Exemples 1 0, 1, 2, 3, · · · les entiers naturels forment un ensemble qui est noté N. N n’est pas un ensemble ﬁni. 2 L’ensemble des couleurs de l’arc-en-ciel est un ensemble ﬁni. 3 L’ensemble de tous les points d’un plan, 4 L’ensemble des étudiants de l’ESATIC inscrits pour cette année universitaire : 5 a, b, c, · · · , z sont lettres de l’alphabet français. 6 La collection {∗, 1, ∗} n’est pas un ensemble. 4 ENSEMBLES Notation L’ensemble qui n’a aucun élément est dit vide et est noté ∅ou {}. Un ensemble qui n’a qu’un seul élément x est noté {x} et est appelé singleton. Un ensemble constitue de deux éléments s, x est noté {s, x}, ou {x, s} et est appelé paire. 5 ENSEMBLES II) Ecritures d’un ensemble On peut écrire un ensemble de deux façons: Déﬁnition (écriture en extension) Écrire un ensemble en extension veut dire donner une liste de tous ses éléments. Exemple 1 « Dans A il y a les éléments 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 » est une déﬁnition en extension. On écrit : A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. 2 l’ensemble E de tous les entiers naturels inferieurs ou egal a 6 est ecrit en extension : E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 6 ENSEMBLES Déﬁnition (écriture en compréhension) Écrire un ensemble en compréhension veut dire donner une propriété caractéristique de ses éléments. Exemples « Dans A il y a les nombres entiers de 1 à 7 » est une déﬁnition en compréhension. on écrit : A = {x|x est un nombre entier de 1 à 7}. L’ensemble P de tous les entiers relatifs pairs est ecrit en comprehension : P = {2n, n ∈Z}. L’ensemble S de toutes les puissances entières de 3 est écrit en comprehension : S = {3n, n ∈Z}. 7 ENSEMBLES III) Diagrammes de Venn Pour représenter un ensemble on dessine une ligne fermée appelée diagramme de Venn et on met les éléments de l’ensemble à l’intérieur de cette ligne, les autres à l’extérieur. Pour représenter deux ensembles sur un même diagramme de Venn, il faut prévoir un endroit pour les éléments qui appartiennent aux deux ensembles à la fois, pour les éléments qui n’appartiennent qu’à un seul des deux ensembles et pour ceux qui n’appartiennent à aucun des deux ensembles. Chaque élément ne doit en eﬀet ﬁgurer qu’une seule fois sur un diagramme ! Pour représenter trois ensembles sur un même diagramme, on dessine un « diagramme en trèﬂe » qui permet de prévoir tous les cas : il y en a 8 en tout ! (essayez de les décrire) 8 ENSEMBLES Exemple E = {c; t; r; p} 9 ENSEMBLES Exemple E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, A = {1; 4; 6} et B = {2; 3; 4; 5} 10 ENSEMBLES Exemple A = {1; 2; 5; 7; 9}, B = {4; 5; 6; 7; 9; 10} et C = {1; 3; 6; 7; 8; 9; 10} Placez vous-mêmes les entiers de 0 à 12 sur le diagramme suivant : 11 ENSEMBLES IV) Inclusion, égalité, ensemble des parties Déﬁnition (Inclusion) Soient E et F deux ensembles. On dira que E est inclus dans F si tout élément de E est élément de F. On dit encore que E est un sous-ensemble de F ou E est une partie de F. On écrit dans ce cas E ⊂F ou F ⊃E. Exemple 12 ENSEMBLES Exemples L’ensemble des poulets est contenu dans celui des oiseaux. L’ensemble cos x 2 + n; x ∈R, n ∈N est contenu dans ] −1, 1[. {∗} ⊂{∗, △}, {△} ⊂{∗, △}, {∗, □} ⊈{□, △, O} et {□, △, O} ⊈{∗, □}. Remarque 1 On convient que l’ensemble vide ∅est contenu dans tout ensemble. 2 On a bien E ⊂E. 3 Si E ⊂F et F ⊂G, alors E ⊂G. 13 ENSEMBLES Exercice Soit E l’ensemble {∗, △, O}. Trouver tous les sous-ensembles de E. Déﬁnition (Ensembles égaux) Deux ensembles sont égaux s’ils ont les mêmes éléments. Exemple Les ensembles A = {1; 2; 3; 4} et B =]0; 4] ∩N sont égaux. Les ensembles C = {1; 2; 3; 7} et D = {8; 4; 2; 1} ne sont pas égaux Proposition Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est inclus dans B et B est inclus dans A. 14 ENSEMBLES Remarque La méthode la plus courante pour montrer que deux ensembles sont égaux est d’ailleurs de procéder par double inclusion, c’est à dire de montrer d’abord que A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A. Remarque La méthode la plus courante pour montrer que deux ensembles sont égaux est d’ailleurs de procéder par double inclusion, c’est à dire de montrer d’abord que A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A. 15 ENSEMBLES Déﬁnition (Ensemble des parties) Toutes les parties d’un ensemble E décrivent un nouvel ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E); on a donc : A ⊂E ⇔A ∈P(E). Remarque Soit E est un ensemble. Si card(E) = n, alors card(P(E)) = 2n. si a est élément de E (non vide): a ∈E ⇔{a} ⊂E ⇔{a} ∈P(E). 16 ENSEMBLES V) Opérations élémentaires dans les ensembles Activité 1 Représentez sur un même diagramme de Venn des ensembles : A = {1; 2; 3; 4; 5} et B = {4; 5; 6; 7}, en ne représentant chaque élément qu’une seule fois. 2 Placez sur ce diagramme les éléments 13 et 29,5. On constate que sur ce diagramme il y a quatre sortes d’éléments, ceux qui appartiennent : ◦à A et à B :· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ◦à A mais pas à B :· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ◦à B mais pas à A :· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ◦ni à A, ni à B :· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17 ENSEMBLES Combien existe-t-il d’éléments qui n’appartiennent ni à A, ni à B ?· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · . On a aussi ceux qui appartiennent à A ou à B : · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · . 18 ENSEMBLES Soit E, F et G trois ensembles et A une partie de E. Opérations Notations Déﬁnitions Intersection E ∩F {x ∈E et x ∈F} Réunion E ∪F {x ∈E ou x ∈F} Diﬀérence E −F ou E\F {x ∈E et x / ∈F} Diﬀérence symétrique A△B {x ∈A\B ou x ∈B\A} Complémentaire E −A ou E\A ou CEA A {x ∈E et x / ∈A} Produit cartésien E × F {(x; y)/x ∈E et x ∈F} 19 ENSEMBLES Exemple: intersection Exemples: intersection 1 Pour l’ activité 0.1: A ∩B = {· · · · · · · · · }. 2 si A = {2, 5, 7} et B = {1, 5, 7, 9}, on a A ∩B = {5, 7}. 3 Soit A uploads/Marketing/ beamer-ensembles.pdf