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Groupes monogenes GROUPES MONOGÈNES Dé ?nition On appelle groupe monogène tout groupe de la forme G an n ?? On dit alors que a est un générateur de G et on note G a On dit qu'un groupe est cyclique s'il est monogène et ?ni Exemples Typiquement ? ? n est u

GROUPES MONOGÈNES Dé ?nition On appelle groupe monogène tout groupe de la forme G an n ?? On dit alors que a est un générateur de G et on note G a On dit qu'un groupe est cyclique s'il est monogène et ?ni Exemples Typiquement ? ? n est un groupe cyclique d'ordre n est un groupe monogène in ?ni Théorème ? Tout groupe monogène a est soit in ?ni et isomorphe à soit ?ni et isomorphe à ? m m ?? Démonstration On considère l'application a ? a n an ? ? Im a a donc a est surjectif ? a n n' an n' an ? an' a n ? a n' donc a est un morphisme de groupes On sait que le noyau d'un morphisme de groupe est un sous-groupe donc Ker a n ?? an est un sous-groupe de Par conséquent il existe m ?? tel que Ker a m Deux cas se présentent alors m et alors Ker a a est injective et donc bijective Donc a est in ?ni et isomorphe à m ?? dans ce cas a n'est pas injective Mais a n a n' an an' ? an ?? n' n ?? n' ?? Ker a n ?? n' ?? m n n' m a n ne dépend donc que de la classe n de n modulo m Dé ?nissons alors a Ker a m ? n an ? Ainsi ce nouveau morphisme a est injectif puisque a n a n ?? n n ?? et surjectif Donc a est isomorphe à m On dit que l'on a factorisé le morphisme a a n p an a ? ? m n Groupes monogènes Page G COSTANTINI CL'entier m ?? véri ?e donc am et c'est le plus petit En e ?et ak k ?? Ker a k ?? m Cet entier m s'appelle l'ordre de l'élément a Théorème Soit G un groupe monogène G Si G est in ?ni alors ses seuls générateurs sont a et a ?? Si G est ?ni d'ordre n alors ses générateurs sont d'ordre n et sont les ak o? k n Démonstration Puisque a est générateur a ?? l'est également ??g ?? G ??n ?? g an a ?? ??n Soit b un générateur de G Comme a est générateur ??u ?? b au Comme b est générateur ??v ?? a bv ? On a donc b buv b ?? uv Or b n'est pas d'ordre ?ni S'il l'était il ne pourrait pas être générateur Donc ?? uv uv Et comme u et v sont des entiers D'o? u ou u ?? b a ou b a ?? Soit b un générateur de G Montrons que b est d'ordre n D'après le théorème de Lagrange on sait que l'ordre de b divise n S'il le divisait strictement b ne pourrait pas engendrer G donc b est d'ordre n Soit maintenant un entier k tel que b ak soit générateur Comme b est générateur ??u ?? a