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Feuille3 corrige Probabilit ?es ?? L Informatique ?? S ?? R Loubaton I Marcovici W O cafrain Feuille Variables al ?eatoires discr etes Exercice a On lance deux d ?es ?equilibr ?es On note X le r ?esultat du premier d ?e et X le r ?esultat du deuxieme d ?e

Probabilit ?es ?? L Informatique ?? S ?? R Loubaton I Marcovici W O cafrain Feuille Variables al ?eatoires discr etes Exercice a On lance deux d ?es ?equilibr ?es On note X le r ?esultat du premier d ?e et X le r ?esultat du deuxieme d ?e D ?eterminer la loi de X ?? X On commence par d ?eterminer les valeurs possibles pour la variable al ?eatoire X X ?? X Comme X et X prennent des valeurs ind ?ependantes entre et on a X ?? On regarde ensuite quelles sont les di ? ?erentes manieres d ? obtenir chaque valeur possible On a P X ?? P X X P X ?? P X X ?? P X ?? P X X ?? P X ?? P X X ?? P X ?? P X X ?? P X P X X ?? et on v ?eri ?e facilement que P X i P X ??i ce qui donne les valeurs restantes b On lance un d ?e ?equilibr ?e au plus fois en s ? arr etant des qu ? on obtient Donner la loi du nombre de lancers e ?ectu ?es Ici par hypothese on va faire entre et lancers Donc si on note X le nombre de lancers on a X On a P X cas ouon obtient tout de suite un P X obtenir autre chose qu ? un puis un De m eme P X et P X Et P X car l ? ?ev ?enement X correspond en fait simplementa ne pas obtenir de au cours des quatre premiers lancers ou sinon on peut aussi calculer P X en utilisant le fait que la somme des probabilit ?es doit etre ?egale a Exercice Un livre de pages contient erreurs d ? impression r ?eparties au hasard Soit X la variable al ?eatoire du nombre d ? erreurs dans une page d ?etermin ?ee a Quelle est la loi de X Il faut ici imaginer qu ? on r ?epete fois l ? exp ?erience qui consiste a choisir au hasard une page du livre et ay glisser une erreur Si on ?xe une page du livre alorsa chaque erreur qu ? on fait la probabilit ?e qu ? elle soit sur cette page est de Donc X suit la loi Binomiale de parametres n et p b Donner une expression de la probabilit ?e qu ? il y ait au moins erreurs dans une page d ?etermin ?ee On a P X ? ?? P X ?? P X ?? P X ou P X ?? p P X p ?? p p ?? p P X p ?? p p ?? p Exercice Montrer que si X est une v a de loi g ?eom ?etrique elle v ?eri ?e la propri ?et ?e d ? absence de m ?emoire suivante ??k ?? N ??n ?? N P X n k X n P X k CProbabilit ?es ??