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Factorisations de polynomes

Factorisations de polynômes I est racine de P Si P est de la forme P x c alors P est un polynôme de degré Si P est de la forme P x bx c alors P est un polynôme de degré Si P est de la forme P x ax ? bx c alors P est un polynôme de degré Dans une fonction polynôme il ne peut jamais y avoir de ou ou ou est dit racine de P si P Exemple P x x - est racine de P car P - Théorème Si est racine de P alors on peut factoriser P par x - Réciproquement si on peut factoriser P par x - alors est racine de P Exemple Q x x ? x - Q ? - En soustrayant ces deux lignes on obtient Q x Q x - Q x ? - ? x - x x - x - x - x II Forme canonique Rien de mieux que de comprendre à partir d'un exemple On a On commence par factoriser par le nombre devant est le début d'une identité remarquable de type a b ? Donc CMaintenant a ? - b ? D'o? Fonctions Polynômes Cours I Fonctions polynômes Dé ?nitions Une fonction polynôme est une fonction P dé ?nie par une expression du type P x anxn an- xn- a x a Les nombres a an sont appelés les coe ?cients de P Si an n est appelé le degré de P Opérations sur les degrés Soit P et Q deux fonctions polynômes non nulles Alors deg PQ deg P deg Q et deg P Q sup deg P deg Q Remarque l'inégalité stricte est possible les termes de plus haut degré pouvant s'annuler Egalité de deux fonctions polynômes Soit P et Q deux fonctions polynômes Théorème P Q signi ?e que deg P deg Q et les coe ?cients des termes de même degré de P et Q sont égaux Cas particulier P signi ?e que tous les coe ?cients de P sont nuls Racine d'une fonction polynôme Soit P une fonction polynôme de degré n n Dé ?nition Une racine ou zéro de P est un nombre a tel que P a Déterminer les racines de P c'est résoudre l'équation P x Théorème a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x P x x - a Q x CRemarques on a alors deg Q n - ce théorème permet de réduire le degré d'une équation Une formule utile Quels que soient les réels x et a xn - an x - a xn- axn- akxn-k- an- x an- II Trinôme du second degré Dé ?nitions Un trinôme du second degré est un polynôme de la forme P x ax ? bx c avec a Résoudre l'équation du second degré P x c'est chercher l'ensemble S des racines de P Méthode générale Dé ?nition On appelle discriminant de