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1 Mécanique générale ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effe

1 Mécanique générale ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) ¾Les torseurs (définition, propriétés, exemples) ¾La cinématique (champ des vitesses et champ des accélérations) ¾Les actions mécaniques (puissance, torseurs,lois, principes, contact) ¾Le torseur dynamique (masse conservatrice, torseur cinétique) ¾Les principes (PFD, puissance virtuelle, TEC, formalisme de Lagrange) ¾Repérage et paramétrage ¾La méthodologie (sur un exemple) 2 Mécanique générale ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) Définir un ensemble de modèles qui permettent de décrire et de prévoir les états d'équilibre ou les évolutions de notre environnement matériel ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) ¾étude des solides indéformables : mécanique générale ¾étude des solides déformables et élastiques : résistance des matériaux et mécanique des milieux continus ¾étude des systèmes de formes non fixées a priori : mécaniques des fluides ¾étude des systèmes soumis à des excitations périodiques : mécanique vibratoire ¾étude des frottements : mécanique des surfaces 3 Mécanique générale ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) ¾Modélisation (les solides, les contacts entre solides, les systèmes ou sous-systèmes mécaniques) ¾Description (les causes du mouvement : les efforts à distance, les efforts de contact ) ¾Prévision ( les effets : le mouvement au cours du temps, des solides qui composent le système) ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) On définit un principe qui lie les efforts exercés sur le système mécanique au mouvement de ce système et à la répartition des particules matérielles qui le compose. ¾le principe fondamental de la dynamique est associé à une approche locale ¾le principe des puissances virtuelles est associé à une approche plus globale ¾L’application d’un des principe détermine la description cinématique du système mécanique étudié. 4 Mécanique générale ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) ¾systèmes composés d'un ensemble de solides indéformables ¾repères orthonormés directs. ¾On n'étudie jamais le comportement relatif des éléments d'un solide ¾champ gravitationnel terrestre i i S Σ = ∪ i j k Sens direct i j k Sens indirect 5 Mécanique générale ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) ¾Les torseurs (définition, propriétés, exemples) ¾La cinématique (champ des vitesses et champ des accélérations) ¾Les actions mécaniques (puissance, torseurs,lois, principes, contact) ¾Le torseur dynamique (masse conservatrice, torseur cinétique) ¾Les principes (PFD, puissance virtuelle, TEC, formalisme de Lagrange) ¾Repérage et paramétrage ¾La méthodologie (sur un exemple) 6 Mécanique générale ¾Rappel sur les Torseurs (définition, propriétés, exemples) Ensemble discret de points Au système de vecteurs on associe 2 champs de vecteurs [ ] M ,V i i G ¾le champ somme ¾le champ moment ∀ → ∑ P s = Vi i K G i i i V PM P G G ∧ = → ∀ ∑ → P M Ensemble continu de points Au champ de vecteurs [ M, ] on associe 2 champs de vecteurs ) ( * ) ( M dv M V G ¾le champ somme ¾le champ moment ∫ ∈ → ∈ ∀ S M = S S P (M)dv(M) V G G ∫ ∈ → ∧ → ∈ ∀ S M = S P (M)dv(M) V PM P G G M 7 Mécanique générale ¾Rappel sur les Torseurs (définition, propriétés, exemples) Définition Tout les systèmes de vecteurs qui admettent même somme et même moment sont équivalents entre eux et forment un torseur noté {T} {T}P= { } { }⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ T M T P G G s 8 Mécanique générale ¾Rappel sur les Torseurs (définition, propriétés, exemples) ¾Propriété fondamentale : le transport du torseur G G G M M B A s = + BA → ∧ ¾Egalité : les deux torseurs ont même somme et même moment en un point quelconque. ¾Les torseurs forment un espace vectoriel de dimension 6. ¾Produit scalaire de deux torseurs {T1}.{T2} = {T1}. M {T2}+ {T2} . M {T1} le résultat est indépendant du point M. s G s G G M G M ¾Equiprojectivité [ ] [ ] AB AB → → = . G M M A B . τ τ ¾Invariant Scalaire ℑ = = { } s{ }. { } s{ }. { } M P T T M T T M T G G G G 9 Mécanique générale ¾Rappel sur les Torseurs (définition, propriétés, exemples) ¾Les torseurs nuls : leurs sommes et leurs moments sont nuls en tout point de l'espace ¾Les torseurs couples : leurs sommes sont nulles => les moments sont invariants ¾Les torseurs uniaxiaux : leurs sommes sont non nulles, mais leurs invariants scalaires sont nuls (en tout point de l'espace le moment est perpendiculaire à la somme) ¾Les torseurs quelconques : leurs sommes et leurs invariants scalaires sont non nuls; c'est le cas le plus général. La somme n'est plus perpendiculaire au moment. 10 Mécanique générale ¾Rappel sur les Torseurs (définition, propriétés, exemples) Systèmes de vecteurs en Mécanique Efforts de liaison entre deux surfaces en contact : les Mi sont les points de la surface de contact, les efforts élémentaires en chacun de ces points sont les vecteurs associés. G Vi Quantités de mouvement ou d'accélération : les Mi sont les points du solide ou du système mécanique étudié ; les vecteurs associés sont les quantités de mouvement ou d'accélération locales, produit de la masse élémentaire en Mi par la vitesse ou l'accélération du point Mi G Vi 11 Mécanique générale ¾Rappel sur les Torseurs (définition, propriétés, exemples) Torseurs en Mécanique Torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses Torseur des efforts extérieurs à un solide Torseur des quantités de mouvement ou torseur des quantités d'accélération 12 Mécanique générale ¾Introduction (objectif, exemples, méthode, causes et effets, hypothèses) ¾Les torseurs (définition, propriétés, exemples) ¾La cinématique (champ des vitesses et champ des accélérations) ¾Les actions mécaniques (puissance, torseurs,lois, principes, contact) ¾Le torseur dynamique (masse conservatrice, torseur cinétique) ¾Les principes (PFD, puissance virtuelle, TEC, formalisme de Lagrange) ¾Repérage et paramétrage ¾La méthodologie (sur un exemple) 13 Mécanique générale ¾Cinématique du Solide (introduction, champs des vitesses et des accélérations) repérage d’un solide Soit le repère de référence : Soit le repère lié au solide S1 : Soit P appartenant au solide considéré, Soit M appartenant au repère de référence R O x y z 0 0 0 0 = ( , , , ) G G G R O x y z 1 1 1 1 1 = ( , , , ) G G G xo yo zo M x1 y1 z1 P Oo O1 S1 Définir la position du solide S1 par rapport à R0 c'est définir la position de l'origine du repère R1 et l'orientation de la base B1 de R1 par rapport à B0 base de R0. Cela revient mathématiquement à exprimer un vecteur dans différentes bases. 14 Mécanique générale ¾Cinématique du Solide (introduction, champs des vitesses et des accélérations) définition de la vitesse d’un point (1/2) Soit le repère de référence : Soit le repère lié au solide S1 : Soit P appartenant au solide considéré, Soit M appartenant au repère de référence R O x y z 0 0 0 0 = ( , , , ) G G G R O x y z 1 1 1 1 1 = ( , , , ) G G G xo yo zo M x1 y1 z1 P Oo O1 S1 S / R G V P ( ) ∈ 1 0 = d O P dt B 0 0 → ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 15 Mécanique générale ¾Cinématique du Solide (introduction, champs des vitesses et des accélérations) définition de la vitesse d’un point (2/2) S / R G V P ( ) ∈ 1 0 = d O P dt B 0 0 → ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ¾ Le problème physique est de déterminer la vitesse du solide (et non la vitesse d’un point seulement du solide) : c’est le champ de vitesses qui nous intéresse et on l’exprimera sous forme de torseurs. ¾ Le problème mathématique à résoudre est la détermination de la relation entre les dérivées d'un vecteur dans différentes bases en fonction de la variation de position relative des bases. 16 Mécanique générale ¾Cinématique du Solide (introduction, champs des vitesses et des accélérations) Dérivation d’un vecteur dans différentes bases (1/3) et d f dq B d f dq B → → ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 1 2 Relation entre On a et F P f j i j i i = ∑ , * f P F i i j j j = ∑ , * d f dq B d f dq B P d P dq F E i j k j i i k k j → → ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + ∑ ∑ ∑ 1 2 , , * * * G On obtient d f dq → ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Écrire n’a généralement aucun sens 17 Mécanique générale ¾Cinématique uploads/Management/ presentation-mecanique-generale.pdf