Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Polycopié du cours MAP 431 Analyse variationnelle des équations aux dérivées pa

Polycopié du cours MAP 431 Analyse variationnelle des équations aux dérivées partielles Grégoire ALLAIRE - François ALOUGES École Polytechnique 16 janvier 2015 Table des matières 1 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLÈMES ELLIP- TIQUES 1 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Théorie de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Cadre abstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Application au Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 ESPACES DE SOBOLEV 13 2.1 Introduction et avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Fonctions de carré sommable et dérivation faible . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Quelques rappels d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Dérivation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Déﬁnition et principales propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Espace H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Espace H1 0(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 Traces et formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.4 Un résultat de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.5 Espaces Hm(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES 27 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Étude du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1 Conditions aux limites de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.2 Conditions aux limites de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.3 Coeﬃcients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.4 Propriétés qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Résolution d’autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1 Système de l’élasticité linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2 Équations de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS 53 4.1 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i ii TABLE DES MATIÈRES 4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.2 Approximation interne générale . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.4 Méthode des éléments ﬁnis (principes généraux) . . . . . . . . 56 4.2 Éléments ﬁnis en dimension N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1 Éléments ﬁnis P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.2 Convergence et estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.3 Éléments ﬁnis P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.4 Propriétés qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3 Éléments ﬁnis en dimension N ≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.1 Éléments ﬁnis triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3.2 Convergence et estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3.3 Éléments ﬁnis rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.4 Résolution des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.1 Rappels sur les normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.2 Conditionnement et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.3 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.4 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4.5 Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 PROBLÈMES AUX VALEURS PROPRES 93 5.1 Motivation et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.1.2 Résolution des problèmes instationnaires . . . . . . . . . . . . 94 5.3 Valeurs propres d’un problème elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3.1 Problème variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3.2 Valeurs propres du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.3.3 Autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.4 Méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4.1 Discrétisation par éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 13.2 uploads/Management/ polymap431-pdf.pdf