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Exercice support distribution 1

Exercices - Distribution - Support et opérations corrigé Exercice - Pense-bête - Quatrième année - Soit ?? D R On a Tn ?? Tn ? ?? T T Prenons pour T ? et pour une fonction de D R telle que et Alors T ?? Plus généralement on a T ? dès que ? est nulle au voisinage du support de T c ? est-à-dire que les supports de T et ? sont disjoints On a T ? T ? dès que ? et ? sont égales au voisinage du support de T Exercice - Equation - Quatrième année - Remarquons que ceci correspond ici à la multiplication d ? une distribution par une fonction C ? On a donc pour ?? D R x x xvp x vp x x lim dx ? x ? x ce qui donne bien le résultat a L ? idée est qu ? on connait la valeur de u sur les fonctions qui s ? écrivent x avec ?? D R On s ? y ramène en décomposant x en x x x o? est de classe C ? Multipliant par la fonction donnée par l ? énoncé on obtient x Si on applique u on trouve u u xu On obtient ?nalement u u quantité qui est donc indépendante de b Soit une fonction de D R valant à la fois sur le support de et de ? Alors on a C u C ? ce qui prouve le résultat c Notons C la valeur commune de tous les C pour Le calcul e ?ectué cidessus prouve que u C C ? Le résultat reste véri ?é si car les deux membres sont nuls Une distribution véri ?ant xu s ? écrit donc C ? La réciproque est clairement vraie Ecrivons xvp x ce qui fait que l ? équation se réécrit x u ?? vp x ce qui entra? ne alors u vp x C ? http www bibmath net CExercices - Distribution - Support et opérations corrigé On note On ?? ? n ? ? n ? de telle sorte que On n ??Z est un recouvrement localement ?ni de R Soit ?n une partition de l ? unité associée et décomposons en n ??Z x ?n n ??Z n D ? après la formule de Taylor avec reste intégral chaque n s ? écrit n x n ? x ?? n ? ?n x o? ?n est de classe C ? Remarquons encore que x ? x ?? n ? sin x est de classe C ? sur On et o? n appartient à D R On peut alors écrire n x n x n x n ? n x sin x n x o? n est une fonction plateau valant sur On et à support dans ?? ? n ? ? n ? On obtient alors T T n n ? n ??Z ce qui prouve le résultat demandé avec cn T n Exercice - Dérivées de Dirac