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Exercices corriges d x27 hydrodynamique et turbulences 1

Master d ? Astrophysique EC - Hydrodynamique et Turbulence Examen du Octobre ??In examinations the foolish ask questions that the wise cannot answer ? Oscar Wilde Durée heures Tous les documents distribués en cours sont autorisés Ce problème établi les équations de Saint-Venant utilisées en cours pour l ? exercice II et propose deux applications Les trois parties sont largement indépendantes Première partie Problème Equations de Saint-Venant On considère un écoulement dans un canal de largeur constante L d ? un uide incompressible de l ? eau On négligera partout la viscosité Le canal est horizontal et la hauteur de l ? eau est mesurée à partir du fond On considère une ??pression e ?ective ? qui inclut les éventuel e ?ets de turbulence et on suppose qu ? une approximation hydrostatique est raisonnable z H x Donner l ? expression de P x z t en fonction de la hauteur de uide H x t On suppose l ? écoulement à deux dimensions Le vecteur vitesse ? ??V s ? écrit donc en fonction de ses composantes u w ? ??V x z t u x z t ? ??e x w x z t ? ??e z Ecrire les équations de conservation de la masse d ? une part et de Navier-Stokes pour chacune des composantes u w C On écrit l ? équation de la surface libre sous la forme F x z t z ?? H x t En écrivant que cette surface est advectée librement c ? est-à-dire que sa dérivée Lagrangienne est nulle trouver l ? équation d ? évolution de H x t Ecrire l ? autre condition aux limites sur u à la surface et les conditions sur u et w au fond en z traduisant l ? absence de cisaillement horizontal d ? une part et le maintien du contact avec le sol de l ? autre On dé ?ni la vitesse moyenne sur la hauteur du uide par H x t U x t u x z t dz H x t a Intégrer l ? équation de conservation de la masse sur la hauteur Note On rappelle la relation de Leibniz pour la dérivée d ? une intégrale à bornes variables ? b x b x ? f db da f x z dz dz f x b x ?? f x a x ? x a x a x ? x dx dx Rappel On doit trouver ? H ? H ? U U ??H ? t ? x ? x b Intégrer de même la composante u de l ? équation de Navier-Stokes On pourra utiliser l ? ap- proximation H x t u dz U H Rappel On doit trouver ? U ? U ? H U ??g ? t ? x ? x ? ? Perturbation d ? un état au repos A t on suppose que le système est dans un état stationnaire U H constant pour tout x On pose U U u