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Exercices avec solutions sur le processus stochastiques

EXERCICES AVEC SOLUTIONS SUR LE PROCESSUS STOCHASTIQUES Exercice Le schéma de principe d ? un casque écouteur à réduction de bruit environnemental est décrit cidessous Pour simpli ?er nous travaillerons dans le domaine spectral en utilisant que des spectres et non pas des signaux dans le domaine temporel Nous souhaitons écouter de la musique X f transmise sur un haut-parleur avec une réponse inconnue H f mais le signal auriculaire Y f est perturbé par un bruit d'environnement inconnu W f qui a été ?ltré par une réponse de canal inconnue H f Nous mesurons le signal de reçu par l'oreille avec le microphone Un microphone supplémentaire mic capte également le signal de bruit mais il est ?ltré par un ?ltre inconnu H f Nous souhaitons concevoir un ?ltre G f tel que le signal de bruit Y est parfaitement annulé Alors que nous concevons G f il n'est pas inclus dans le schéma Quelle est la solution souhaitée pour G f en termes de H f et H f a Montrer que H - f H f ?? H ? f b X f et W f sont considérés comme des processus aléatoires indépendants avec des densités spectrales de puissance SX f et SW f respectivement Donner des expressions pour SY f SV f et SYV f en termes de SX f et SW f c d Laquelle de ces densités spectrales de puissance croisée pouvons-nous observer Donner une expression pour G f en termes de quantités observées e CSolution Exercice a b E ?ectivement cette expression représente bien l ? inverse de car c d En utilisant les signaux du microphone nous pouvons observer Y f et V f et estimer SY f SV f et SYV f Vraisemblablement nous connaissons également le signal d'entrée X f et connaissons SX f Mais ce n'est pas utilisé ici En réalité X f est également perturbé par un ?ltre inconnu e Mais dans la pratique il y a plusieurs limites une certaine partie du signal X f peut être perdue dans V f provoquant l'annulation du signal désiré H f réponse fréquentielle peut avoir un zéro à une certaine fréquence empêchant l'inversion H p fonction de transfert en p peut avoir des zéros dans le demi-plan gauche du plan p qui vont devenir des pôles instables lorsque nous inversons le canal CExercice Soit une séquence aléatoire discrète Xn composée par la somme d ? une constante discrète égale à et d ? un un bruit Nn i i d indépendantes et identiquement distribuées de moyenne nulle et de Var Nn ? La séquence aléatoire Yn est obtenue en ?ltrant Xn à l ? aide d ? un SLIT discret de réponse impulsionnelle h n donnée par Montrer que la séquence d'autocorrélation de Xn est donnée par RX k ? ? k a Trouvez E Yn b Trouver l'autocorrélation RY n k et l'auto-covariance CY n k c Yn est il i i d Yn est-il WSS stationnaire au sens large