Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

A i x M a r s e i l l e U n i v e r s i t é - C e n t r e d e T é l é - E n s e

A i x M a r s e i l l e U n i v e r s i t é - C e n t r e d e T é l é - E n s e i g n e m e n t S c i e n c e s Case 35. 3, place Victor Hugo. 13331 Marseille Cedex 03. http://www.ctes.univ-provence.fr P o u r r a p p r o c h e r l a c o n n a i s s a n c e MASTER 2 MATHEMATIQUES Expédition dans la semaine n° Etape Code UE N° d’envoi de l’UE 46 MA-CEPS 2 SMACUF5T 1 Nom de l’UE : Calcul scientifique Le cours contient 5 chapitres. Pour chaque semaine, il est proposé d'étudier une partie du cours, de faire des exercices (corrigés) et, éventuellement, de réaliser un TP en python. Les TP sont conseillés mais non obligatoires. Deux devoirs sont à rendre afin de bénéficier d'une note de contrôle continu. note finale=max(note-examen, 1/3(2 note-examen + note-contrôle-continu)). - Contenu de l'envoi : Polycopié, chapitre 1. TP 1 - Guide du travail à effectuer Semaine 1 : Lire l’introduction. Etudier le paragraphe 1.1 (Principe des deux méthodes), Exercices proposés (avec corrigés) : 1 (différences finies et volumes finis avec conditions de Dirichlet non homogènes) et 3 (Principe du maximum). Semaine 2 : Etudier le paragraphe 1.2 (Analyse de la méthode des différences finies) sans la démonstration Exercices proposés (avec corrigés) : 5 (Equation de transport diffusion sous forme non-conservative), 7 (Conditionnement efficace) , 10 (problème elliptique 1D et discrétisation par différences finies) Semaine 3 : Etudier le parapraphe 1.3 (V olumes finis en une dimension d’espace) Exercices proposés (avec corrigés) : 11 (non consistance des volumes finis), 13 (consistance des flux), 14 (conditions au limites de Neumann) , 16 (différences finies et volumes finis pour les conditions de Fourier) Semaine 4 : Etudier le paragraphe 1.4 (diffusion bi-dimensionnelle) : 18 (Problème elliptique 1d, discrétisation par volumes finis) 20 (Problème elliptique 2d et différences finies ), 21 (Implantation de la méthode des volumes finis) -Coordonnées de l'enseignant responsable de l'envoi R. Herbin, I2M, 39 rue Joliot Curie, 13453 marseille cedex 13 email : raphaele.herbin@univ-amu.fr Vous pouvez aussi consulter la page web: http://www.i2m.univ-amu.fr/~herbin et me poser des questions par email Introduction Analyse numérique des équations aux dérivées partielles et cal- cul scientiﬁque Pour aborder le calcul numérique (à l’aide d’un outil informatique) des solutions d’un problème ”réel", on passe par les étapes suivantes : Description qualitative des phénomènes physiques Cette étape, eﬀectuée par des spécialistes des phénomènes que l’on veut quantiﬁer (ingénieurs, chimistes, biologistes etc. . .) consiste à répertorier tous les mécanismes qui entrent en jeu dans le problème qu’on étudie. Modélisation Il s’agit, à partir de la description qualitative précédente, d’écrire un modèle ma- thématique. On supposera ici que ce modèle amène à un système d’équations aux dérivées partielles (EDP). Selon les hypothèses eﬀectuées, la modélisation peut aboutir à plusieurs modèles, plus ou moins complexes. Dans la plupart des cas, on ne saura pas calculer une solution analytique, explicite, du modèle ; on devra faire appel à des techniques de résolution approchée. Analyse mathématique du modèle mathématique Même si l’on ne sait pas trouver une solution explicite du modèle, il est important d’en étudier les propriétés mathématiques, dans la mesure du possible. Il est bon de se poser les questions suivantes : — Le problème est-il bien posé, c’est-à-dire y a-t-il existence et unicité de la solution ? — Les propriétés physiques auxquelles on s’attend sont elles satisfaites par les solutions du modèle mathématique ? Si l’inconnue est une concentration, par exemple, peut-on prouver que la solution du modèle censé représenter le modèle physique est toujours positive ? — Y a-t-il continuité de la solution par rapport aux données ? Discrétisation et résolution numérique Un problème posé sur un domaine continu (espace– temps) n’est pas résoluble tel quel par un ordinateur, qui ne peut traiter qu’un nombre ﬁni d’inconnues. Pour se ramener à un problème en dimension ﬁnie, on discrétise l’espace et/ou le temps. Si le problème original est linéaire on obtient un système linéaire. Si le problème original est non linéaire (par exemple s’il s’agit de la minimisation d’une fonction) on aura un système non linéaire à résoudre par une méthode ad hoc (méthode de Newton. . .) Analyse numérique Il s’agit maintenant de l’analyse mathématique du schéma numérique. En eﬀet, une fois le problème discret obtenu, il est raisonnable de se demander si la solution de ce problème est proche et en quel sens, du problème continu. De même, si on doit mettre en œuvre une méthode itérative pour le traitement des non-linéarités, il faut étudier la convergence de la méthode itérative proposée. Mise en œuvre, programmation et analyse des résultats La partie mise en œuvre est une grosse consommatrice de temps. Actuellement, de nombreux codes commerciaux de type "boîte noire" existent, qui permettent en théorie de résoudre ”tous" les problèmes. Il faut cependant procéder à une analyse critique des résultats obtenus par ces codes, qui ne sont pas toujours compatibles avec les propriétés physiques attendues. . . Principales méthodes de discrétisation Méthodes de diﬀérences ﬁnies et volumes ﬁnis On considère un domaine physique Ω⊂Rd, où d est la dimension de l’espace. Le principe des méthodes de diﬀérences ﬁnies (DF) consiste à se donner un certain nombre de points du domaine, 8 qu’on notera (x1 ...xN) ⊂(Rd)N. On approche l’opérateur diﬀérentiel en espace en chacun des xi par des quotients diﬀérentiels. Il faut alors discrétiser la dérivée en temps : on pourra par exemple considérer un schéma d’Euler 1. Les méthodes de volumes ﬁnis (VF) sont adaptées aux équations de conservation et utilisées en mécanique des ﬂuides depuis plusieurs décennies. Le principe consiste à découper le domaine Ωen des volumes de contrôle ; on intègre ensuite l’équation de conservation sur les volumes de contrôle ; on approche alors les ﬂux sur les bords du volume de contrôle par exemple par une technique de diﬀérences ﬁnies. Méthodes variationnelles, méthodes d’éléments ﬁnis On met le problème d’équations aux dérivées partielles sous la forme dite variationnelle : (a(u,v) = (f ,v)H ∀v ∈H, u ∈H, où H est un espace de Hilbert 2 bien choisi (par exemple parce qu’il y a existence et unicité de la solution dans cet espace), (·, ·)H le produit scalaire sur H et a une forme bilinéaire sur H. Dans un tel cadre fonctionnel, la discrétisation consiste à remplacer H par un sous espace de dimension ﬁnie Hk, construit par exemple à l’aide de fonctions de base éléments ﬁnis qu’on introduira plus loin : (a(uk,vk) = (f ,vk)H ∀v ∈Hk, uk ∈Hk, Méthodes spectrales L’idée de ces méthodes est de chercher une solution approchée sous forme d’un développement sur une certaine famille de fonctions. On peut par exemple écrire la solution approchée sous la forme u = Pn i=1 αi(u)pi, où les pi sont des fonctions polynomiales. On choisit la base pi de manière à ce que les dérivées de αi et pi soient faciles à calculer. Ces dernières méthodes sont réputées coûteuses, mais précises. Elles sont d’ailleurs plus souvent utilisées comme aide à la compréhension des phénomènes physiques sur des problèmes modèles que dans pour des applications industrielles. Quelques exemples d’équations aux dérivées partielles Équation de Poisson En trois dimensions d’espace, elle s’écrit : −div(κ∇u) = f , où div est l’opérateur divergence qui s’applique à une fonction vectorielle. Pour w : x = (x1,x2,x3) ∈R3 7→w(x) = w1(x1,x2,x3) ∈R3, divw = 1w1 + 2w2 + 3w3, la notation i désignant la dérivée partielle de par rapport à xi et le symbole nabla ∇(parfois aussi appelé del) représente le gradient : ∇u =         1u 2u 3u         En une dimension d’espace, elle s’écrit : (−(κu′)′ = f 1. Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâsle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, est un mathé- maticien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne. Euler ﬁt d’importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul inﬁnitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l’analyse mathématique, comme pour la notion d’une fonction mathématique [ciarlet1]. Il est également connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des ﬂuides, en optique et en astronomie. 2. David Hilbert (1862–1943) est un très grand mathématicien allemand du xx–ème siècle. Il est en particulier connu pour les vingt-trois problèmes qu’il a énoncés comme déﬁs aux mathématiciens. Certains de ces problèmes sont à ce jour non résolus. Un espace de Hilbert H ou espace hilbertien est un espace vectoriel normé complet dont la norme, notée ∥·∥, découle d’un produit scalaire (·, ·)H : pour tout u ∈H, ∥u∥2 H = (u,u)H. 9 Le réel κ est un coeﬃcient uploads/Management/ method-difir.pdf