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Ds 6 2 PC Devoir n DS ?? Vendredi Octobre Octobre - h Exercice I F EB F F ?? C F ED F F Soit a ?? R et A ?? M R dé nie par A ?? ?? a F EB F F F EB F F Calculer det A Pour quelles vale urs de a la m atri ce A

PC Devoir n DS ?? Vendredi Octobre Octobre - h Exercice I F EB F F ?? C F ED F F Soit a ?? R et A ?? M R dé nie par A ?? ?? a F EB F F F EB F F Calculer det A Pour quelles vale urs de a la m atri ce A est-elle inversible x F ED F F F ED On suppose a On note X y et B F F ? z ? Résoudre le système AX B On pourra par exemple utiliser les formules de Cramer En déduire A ?? On prend dans la suite a Soit E un espace vectoriel sur R de dimension Soit B e e e une base de E et f endomorphisme de E de matrice A dans B a Soit ?? e e e Calculer f Que constate-t-on b Soit e et ?? e e Déterminer f et f en fonction de e e e puis en fonction exclusivement de et c Montrer que F EB F F es t une base de E et montrer que la F ED F F matrice de f dans cette base est A ?? ?? ?? d Calculer A ?? et A ?? Donner une expression de A ??p pour tout p de N e Soit n ?? N Calculer A n a C a Véri er que A ?? ?? A ?? A ?? ?? I En déduire que A ?? A A ?? I b Soit P X X ?? X X ?? Déterminer les racines dans C de P c Soit n ?? N Le reste de la division euclidienne de Xn par P est noté Rn X anX bnX cn En utilisant les racines de P calculer explicitement an bn cn d En déduire une expression de An en fonction de A A et I Exercice II On considère deux suites an n ?? N ? et bn n ?? N ? d'éléments de C telles que pour tout i tout j ai bj ?? On suppose de plus les bj tous distincts Pour tout N ?? N ? on note MN la matrice carrée d'ordre N d'élément général mi j ai bj ? i ? N et ? j ? N On note DN det MN et F X X ?? a X ?? aN ?? X b X bN DS - sur CPC Devoir n DS ? ?? Déterminer les scalaires c cN tels que ? N F X ci i X bi On note Montrer que D a b aN b a bN ?? aN bN ?? F a F aN D a b a bN ?? aN b aN bN ?? cN a bN cN aN bN En déduire que DN F aN cN DN ?? Montrer que ? ? DN ? i DS - sur CPC Devoir n DS ?? Problème Si n ?? N Mn R désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à E coe