Allal Bedlaoui Exercices corrigé dans Analyse Numérique Exercice 1 : Soit f : R

Allal Bedlaoui Exercices corrigé dans Analyse Numérique Exercice 1 : Soit f : R→R la fonction définie par
() =   a) Déterminer le polynôme d’interpolation de f aux points 0;1/2 et 1 sur [0;1] en utilisant : 1) la formule de Lagrange 2) la formule de Newton. b) Donner une approximation de
(  ). Calculer l’erreur relative pour cette approximation. Exercice 2 : a) Déterminer par la méthode des trapèzes puis par celle de Simpson ∫
()   pour tableau suivant :  0 1 2 1 3 2 2  =
() = 1 1 +  1 4 5 1 2 4 13 1 5 b) Calculer l’erreur relative dans chaque cas. Exercice 3 : Soit f : R→R la fonction définie par
() =   . On choisit le pas ℎ=  a) Approcher
′(  ) en utilisant les formules de différences progressives, régressives et centrées. Calculer l’erreur relative dans chaque cas. b) Approcher
′′(  ) en utilisant la formule d’approximation
() ≈
( + ℎ) −2
() +
( −ℎ) ℎ Allal Bedlaoui Correction Exercice 1 : a) le polynôme d’interpolation 1) méthode de Lagrange : () =  () +  () +  () Ou : () = ( −)( − ) ( −)( − ) ⟹ () = 2 −3 + 1 () = ( −)( − ) ( −)( − ) ⟹ () = −4( −1) () = (!")(!#) ( !")( !#) ⟹ () = 2 $ −  % Donc : () = 2 −3 + 1 −16 5 ( −1) + ( −1 2) 2) méthode de Newton : () =
() + '[; ]( −) + ' [; ;  ]( −)( −) '[; ] =
() −
()  − = −2 5 ' [; ;  ] = '[;  ] −'[; ]  − = −1 5 () = 1 −2 5  −1 5  + −1 2, b) calculer l’erreur relative :
$  % = - . , $  % = . / 0  12 = 3
$1 4% − $1 4%
$1 4% 3 = 0.0304 = 3.04% Exercice 2 : a) Méthode de trapèze 6 (
) et méthode de Simpson 7 (
) : ℎ= 8 −9 : ⟹ℎ= 1 2 6 (
) = ℎ 2 ;
(9) +
(8) + 2 <
() / = > 6 (
) = 1.103 Allal Bedlaoui 7 (
) = ℎ 3 ?
(9) +
(8) + 2 <
() / = @AB + 4 <
() / = C@AB D 7 (
) = 1.105 b) Les erreurs relative à chaque méthode est On a EFGHI 2 = ∫
()   Donc : 12 = JEFGHI(2) −6 (
) EFGHI(2) J ⟹12 = 0.18% 12 = JEFGHI(2) −7 (
) EFGHI(2) J ⟹12 = 0.36% Exercice 3 : a) Calcule approximation de
 $  % Progressive:
 L() =
() −
()  −
 L +1 2, =
(1) −
$1 2% 1 −1 2 ⟹
 L +1 2, = −3 5 Regressive:
 2 +1 2, =
$1 2% −
(0) 1 2 −0 ⟹
 2 +1 2, = −2 5 Centrée:
 M +1 2, =
(1) −
(0) 1 −0 ⟹
 M +1 2, = −1 2 Et
() = −2 (1 +  ) ⟹
 +1 2, = −16 25 Les erreures relatives: 12( ) = 3
 $1 2% −
 L $1 2%
 $1 2% 3 ⟹12( ) = 6.25% 12(N) = 3
 $1 2% −
 2 $1 2%
 $1 2% 3 ⟹12(N) = 37.5% 12(P) = 3
 $1 2% −
 M $1 2%
 $1 2% 3 ⟹12(P) = 21.8% b) Approximation
 $  % = Q()! Q$# %Q() # R ⟹
 $  % = − S uploads/Management/ exercices-corrige-analyse-numerique.pdf

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• Publié le Oct 13, 2021
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• Langue French
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