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Universit´ e Aix Marseille 1 Master de math´ ematiques Analyse num´ erique des

Universit´ e Aix Marseille 1 Master de math´ ematiques Analyse num´ erique des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles Rapha` ele Herbin 2017 Table des mati` eres Introduction 3 L’analyse num´ erique des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Principales m´ ethodes de discr´ etisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Quelques exemples d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Diff´ erences ﬁnies et volumes ﬁnis pour les probl` emes de diffusion convection r´ eaction stationnaires 6 1.1 Principe des deux m´ ethodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Cas de la dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Cas de la dimension 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Questions d’analyse num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Analyse de la m´ ethode des diff´ erences ﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Sch´ ema volumes ﬁnis pour un probl` eme elliptique unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Volumes ﬁnis pour la prise en compte de discontinuit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Diff´ erences ﬁnies et volumes ﬁnis pour les probl` emes de diffusion 2D . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.1 Diff´ erences ﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2 Volumes ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7 Suggestions pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.8 Corrig´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Probl` emes paraboliques : la discr´ etisation en temps 59 2.1 Le probl` eme continu, et la discr´ etisation espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Discr´ etisation par Euler explicite en temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.1 Consistance du sch´ ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.2 Stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.4 Exemple de non convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2.5 Stabilit´ e au sens des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.6 Stabilit´ e au sens de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.3 Sch´ ema implicite et sch´ ema de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.1 Le θ-sch´ ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.2 Consistance et stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.3 Convergence du sch´ ema d’Euler implicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.4 Cas de la Dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6 Suggestions pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.7 Corrig´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 M´ ethodes variationnelles 98 3.1 Exemples de probl` emes variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.1 Le probl` eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.2 Probl` eme de Dirichlet non homog` ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1.3 Probl` eme avec conditions aux limites de Fourier . . . . . . . . . . . uploads/Management/ etude-des-models-mathematique-issue-du-vivant.pdf