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chapitre 1 : multiples, division euclidienne, congruence 7 novembre 2016 Correc

chapitre 1 : multiples, division euclidienne, congruence 7 novembre 2016 Correction du devoir du jeudi 03 novembre 2016 Exercice 1 Diviseurs (4,5 points) a) Si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et de b donc de : 9a −2b = 18k + 99 −18k + 26 = 125 b) Les valeurs possibles pour d sont les diviseurs de 125 : D(125) = {1 ; 5 ; 25 ; 125}. c) 1 013 = 2×501+11 et 4 496 = 9×501−13, donc 1 013 et 4 496 sont respectivement des valeurs possibles pour a et b. Comme 1 013 et 4 496 ne sont pas divisibles par 5, ils n’admettent qu’un diviseur commun : 1 Exercice 2 Division euclidienne (3 points) a) −1 208 = −23 × 51 −35 = −23 × 51 −51 + 16 = −51 × 24 + 16. Le reste de la division de −1 208 par 51 est 16. b) 1 208 = 23 × 51 + 23 + 12 = 23 × 52 + 12. Le reste de la division de 1 208 par 23 est 12. Exercice 3 Restes (4,5 points) a) 125 = 17 × 7 + 6 donc 125 ≡6 (17). 53n ≡(53)n ≡6n (17) ⇔53n −6n ≡0 (17). Le reste de la division euclidienne de 53n −6n par 17 est 0. b) 39 = 7 × 5 + 4 donc 39 ≡4 (7) et 43 = 64 = 7 × 9 + 1 donc 43 ≡1 (7). 3960 ≡(393)20 ≡(43)20 ≡120 ≡1 (7). Le reste de la division euclidienne de 3960 par 7 est 1. c) 2 012 = 182 × 11 + 10 donc 2 012 ≡10 ≡−1 (11). 2 0122012 ≡(−1)2012 ≡1 (11). Le reste de la division euclidienne de 20122012 par 11 est 1. paul milan 1 terminale t sp´ e correction devoir de math´ ematiques Exercice 4 Équation (3 points) a) On obtient le tableau de congruence suivant : x ≡(6) 0 1 2 3 4 5 x2 ≡(6) 0 1 4 3 4 1 x + 1 ≡(6) 1 2 3 4 5 0 x2 + x + 1 ≡(6) 1 3 1 1 3 1 b) Il n’y a pas de solution pour que x2 + x + 1 soit divisible par 6. Exercice 5 Déﬁdu jour (5 points) B La diﬃculté ici est de bien compter les jours entre 2 dates. a) Il faut calculer le nombre de jours entre le 1er janvier 2012 et le 1er janvier 2062. • Entre le 1er janvier 2012 et le 1er janvier 2062, il y 50 années pleines. • Comme l’année 2012 est bissextile, il y a E 50 4 ! + 1 = 13 années bissextiles. • Le nombre de jours est alors : 365 × 50 + 13 = 18 263. • On calcule ensuite le reste de la division du nombre de jours par 7 pour connaître le décalage de jours avec le 1er janvier 2012 : 18 262 = 7 × 2 609 + 0 Il n’y a donc pas de décalage de jours car le reste est nul. • Le 1er janvier 2062 sera donc un dimanche. b) On utilise le même procédé : • 2041 −2012 = 29 années pleines. • E 29 4 ! + 1 = 8 années bissextiles. • Entre le 1er janvier 2041 et le 1er février 2041, il y a 31 jours, entre le 1er février 2041 et le 1er mars 2041, il y a 28 jours et entre 1er mars 2041 et le 10 mars 2041 il y a 9 jours. • Entre le 1er janvier 2012 et le 10 mars 2041, il y a donc : 365 × 29 + 8 + 31 + 28 + 9 = 10 661 jours • On eﬀectue la division par 7 : 10 661 = 7 × 1 523 + 0. • Le reste est nul, donc le 10 mars 2041 sera encore un dimanche. c) Il faut cette fois revenir en arrière. • 2012 −1974 = 38 années pleines. • E 38 4 ! = 9 années bissextiles. (on ne compte pas 2012) paul milan 2 terminale s sp´ e correction devoir de math´ ematiques • Entre le 1er janvier 1974 et le 1er décembre 1973, il y a 31 jours, entre le 1er décembre 1973 et le 1er novembre 1973, il y a 30 jours et entre 1er novembre 1973 et le 5 octobre 1973 il y a 27 jours. • Entre le 1er janvier 2012 et le 5 octobre 1973, il y a donc : 365 × 38 + 9 + 31 + 30 + 27 = 13 967 jours • On eﬀectue la division par 7 : 13 967 = 7 × 1 1995 + 2. • Le reste est 2, il faut revenir de 2 jours en arrière, Cédric Villani est donc né un vendredi.. paul milan 3 terminale s sp´ e uploads/Management/ diviseurs-et-congruence-corrige-controle-7.pdf