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Devoir de mathematiques pcsi 2

Devoir Surveill ?e de Math ?ematiques no le samedi Octobre - dur ?ee h Exercice R ?esoudre les ?equations suivantes sur C a z ?? i z ?? b z z c z iz ?? d z z z z z z z Exercice D ?eterminer des expressions explicites des suites r ?ecurrentes suivantes a un n ? d ?e ?nie par u et ??n ?? ? un un ?? ?? b qn n ? d ?e ?nie par q et ??n ? qn qn c vn n ? d ?e ?nie par v v et ??n ? vn vn ?? vn d wn n ? d ?e ?nie par w w et ??n ? wn wn ?? wn Probleme I On considere l ? application f C ? C z ? z z a Montrer que f ?? ?? ?? et f ?? ?? L ? application est-elle injective b D ?eterminer f ?? R Traduire g ?eom ?etriquement ce domaine d ? a ?xes ?? c Montrer que f ?? U ?? ei cos pour ?? ?? ? ? et ?? ?? d Montrer que f est surjective Probl eme II Soient E un ensemble et A B ?? P E des parties de E Consid ?erons l ? application f P E ? P A ? P B X ? X ?? A X ?? B a Montrer que f est injective ssi A ?? B E b Montrer que f est surjective ssi A ?? B ? c En d ?eduire une condition n ?ecessaire et su ?sante pour que f soit bijective Dans ce cas calculer la r ?eciproque f ?? Probleme III Soit ? e i ? On appelle A A A A A les points d ? a ?xes respectives ? ? ? ? dans le plan muni d ? un repere orthonorm ?e O i j a On pose u ? ? et v ? ? D ?emontrer que u et v sont les solutions de l ? ?equation z z ?? b En d ?eduire une valeur de cos ? a l ? aide de radicaux c D ?eterminer l ? a ?xe de H le point d ? intersection de A A avec l ? axe des abscisses d Soit C le cercle de centre d ? a ?xe ?? passant par le point B d ? a ?xe i Ce cercle coupe l ? axe des abscisses en deux points M et N On notera M le point d ? a ?xe positive Montrer que H est le milieu de OM D ?eterminer l ? a ?xe de N e Tracer la ?gure form ?ee par les points de l ? ?enonc ?e ala regle et au compas Echelle unit ?e cm N Provost PCSI - C