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Devoir corona Devoir théorie du signal - Exercice Échantillonnage d ? un signal passe-bande - On considère le signal x t x t x ?? t dé ?ni comme suit x t B sin ?Bt ?Bt e j ? f t et x ?? t B sin ?Bt ?Bt e ?? j ?f t Avec f kHz et B kHz Déterminer la

Devoir théorie du signal - Exercice Échantillonnage d ? un signal passe-bande - On considère le signal x t x t x ?? t dé ?ni comme suit x t B sin ?Bt ?Bt e j ? f t et x ?? t B sin ?Bt ?Bt e ?? j ?f t Avec f kHz et B kHz Déterminer la transformée de Fourier du signal x t et représenter la graphiquement - Rappeler l ? expression du signal xe t obtenu par échantillonnage idéal de x t à la fréquence Fe Déterminer la transformée de Fourier de xe t notée Xe f Comment s ? écrit la condition de Shannon pour le signal x t - On échantillonne le signal x t à la fréquence Fe kHz Représenter graphiquement la transformée de Fourier du signal échantillonné xe t dans la bande ?? kHz kHz On désire restituer le signal x t à partir de xe t par un ?ltrage de transmittance fonction de transfert H f ? er cas H f ?F f avec F kHz Montrer que le signal restitué par ce ?ltre noté xr t a une expression temporelle similaire à celle de s t mais obtenue en remplaçant f par une autre fréquence que l ? on précisera ? éme cas H f ?B f f ?B f ??f avec f kHz et B kHz comme précédemment Quel est le signal restitué xr t En vous appuyant sur les résultats obtenus ci-dessus expliquer s ? il est possible de restituer un signal passe-bande échantillonné sans respecter la condition de Shannon Exercice Corrélation et densité spectrale - Montrer que si x t est périodique de période T alors la fonction d ? autocorrélation Rxx est également périodique de période T - Démontrer que pour les signaux réels à énergie ?nie la relation suivante est véri ?ée Rxx ? Rxx - Le principe d ? un radar consiste à émettre un signal de courte durée u t qui ré échi par la cible revient à l ? émetteur après une durée t proportionnelle à la distance de l ? émetteur à la cible Le signal reçu par le radar x t étant a ?aibli et bruité on utilise le maximum de la fonction de corrélation pour estimer la valeur de t soit x t A u t ?? t montrer que Rxu est maximum en t - Calculer les fonctions d ? autocorrélation et de densité spectrale des fonctions suivantes x t t e ??at avec a y t cos ? t ? t C