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Devoir a rendre Pr Tou ?k Chaayra Master MFIGR Probabilité et Processus Stochastique ?? FSJES -AS Casablanca Devoir maison ?? à rendre au plus tard le Lundi Veillez à faire une rédaction soignée de vos réponses Celle-ci sera prise en compte Exercice On ti

Pr Tou ?k Chaayra Master MFIGR Probabilité et Processus Stochastique ?? FSJES -AS Casablanca Devoir maison ?? à rendre au plus tard le Lundi Veillez à faire une rédaction soignée de vos réponses Celle-ci sera prise en compte Exercice On tire deux variables U et V de façon indépendante et uniformément dans l ? ensemble On en déduit les variables aléatoires X min U V et Y max U V Déterminer la loi jointe du couple U Y Déterminer E U Y n pour n ?? En déduire E U Y Déterminer E Y U Déterminer de même E U X et E X U Exercice À raison d ? un véhicule toutes les dix secondes en moyenne le ux des véhicules dans une voie donnée comporte une proportion de p de camions et de de voitures particulières Quelle est la probabilité qu ? au moins un camion passe dans un intervalle d ? une minute Sachant que dix camions sont passés dans un intervalle de cinq minutes quel est le nombre moyen de véhicules qui sont passés dans cet intervalle Trente véhicules sont passés durant dix minutes quelle est la probabilité que trois parmi eux sont des camions Exercice On considère un processus de Poisson N t t ? de densité ? Étudier les processus suivants déduits du processus N t t ? par les opérations suivantes On supprime les tops de rang impair Noter N t t ? le processus obtenu Pour tout i on décale l ? instant Si d ? apparition du iième top d ? une quantité constante a Noter N t t ? le processus obtenu Pour tout i on décale l ? instant Si d ? apparition du iième top d ? une quantité aléatoire Y positive dont la densité de probabilité g x est indépendante de i Soient N t le processus résultant et G t la fonction de répartition de Y On Cdémontre d ? abord que conditionnellement à l ? évènement N t n la variable aléatoire N t est binomiale de paramètre n p t avec t p t G t ?? x dx t puis on calcule P N t k Exercice On considère une cha? ne de Markov Xn n ? sur de matrice de F EB F F transition Q donnée par F EC F EC F F F F F EC F EC F F F F F EC F F F EC F F Q F EC F F F EC F EC F F F F F EC F F F EC F F F ED F F Dessiner le graphe de la chaine de Markov associée en précisant les probabilités de transitions entre les di ?érents états Déterminer les classes d ? états récurrents et transitoires La cha? ne est-elle irréductible Calculer P X et P X Exercice Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries notées A B et C dans chacune desquelles il est confronté à un