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Devoiramimath7c2 2017 ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? DEVOIR DE SYNTHESE Niveau C Durée H Proposé le février de h à h Exercice points Soit ?? ? ?? ? ? et ??E ?? ?? l ? équation dans dé ?nie par z ?? i ?? sin ?? ? ??e ??i ??z ??

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? DEVOIR DE SYNTHESE Niveau C Durée H Proposé le février de h à h Exercice points Soit ?? ? ?? ? ? et ??E ?? ?? l ? équation dans dé ?nie par z ?? i ?? sin ?? ? ??e ??i ??z ?? ??sin ?? ??e ?? i ?? ? a Calculer le discriminent ? ?? et véri ?er que ? ?? ? ? ??i ?? sin ?? ?? ??e ??i ?? ?? ? b En déduire les deux solutions de ??E ?? ?? telles que z ? et z l ? autre solution c Mettre z etz sous forme exponentielle ? ?? Calculer l ? intégrale I ? ? ?? d ?? Exercice points ?? On se propose dans cet exercice de calculer par deux méthodes di ?érentes l ? intégrale I ? ??x ? x ?? dx On pose g x ? sin x avec ?? ? ? x ? ? a Montrer que g réalise une bijection de ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? sur un intervalle que l ? on déterminera et montrer que ?? ?? g ?? ' x ? ?? x b Calculer la dérivée de la fonction H dé ?nie par H x ? x ?? ??x ? x ?? ? g ?? x ?? ?? c En déduire le calcul de l ? intégrale I ? ??x ? x ?? dx En posant x ? ? cost recalculer I et comparer avec les résultats précédents Exercice points On considère l ? équation ??E ?? x ?? y ? o? x ety sont des entiers relatifs a Déterminer le PGCD de et Que peut- on conclure pour l ? équation ??E ?? b Donner une solution particulière de ??E ?? Déterminer alors l ? ensemble des solutions de ??E ?? c En déduire qu ? il existe un unique entier naturel d inférieur ou égal à et un unique entier naturel e tels que d ? ? e On précisera les valeurs de d ete Montrer que est premier On note A l ? ensemble des entiers naturels a tels que a ? On considère les deux fonctions f et g dé ?nies de A dans A de la maniè re suivante f ??a ?? ? r o? r est le reste de la division euclidienne de a par et g ?? a ?? ? r o? r est le reste de la division euclidienne de a par a Véri ?e r que g f ?? ?? ? b Justi ?er que quelque soit l ? entier non nul a de A a ? ?? ? c En déduire que quelque soit l ? entier non nul a de A g ? ??f ??a ?? ? ?? ? a Que peut-on dire de f ? ??g ??a ?? ?? ? Exercice points ?? ?? Le plan complexe Pest muni d ? un repè