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Circuit électrique Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal I. Introduction II

Circuit électrique Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal I. Introduction II. Grandeurs électriques en régimes sinusoïdaux III. Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales IV. Intérêt de la notation complexe V. Impédance et Admittance complexe VI. Association d’impédances VII. Puissance en régime sinusoïdal VIII. Mesure de la puissance 1. Introduction | Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Dans ce chapitre nous généralisons l’étude faite sur les signaux stationnaire… 1 2. Grandeurs électriques en régimes sinusoïdaux (1)| Écriture mathématique Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal   ( ) sin x t X t w    0  Les circuits que nous allons étudier serons soumis à une tension sinusoïdale . Graphiquement, on peut dessiner cette fonction ainsi.   ( ) sin m x t X t w    1 : : rad.s : rad 0 ( m X w  f          amplitude du signal pulsation en phase à l'origine des dates en pour la figure ci -dessus 2 2. Grandeurs électriques en régimes sinusoïdaux (2) | Compléments Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal La pulsation w est reliée à la période T (s) et à la fréquence f (Hz) : 2 2 f T p w p   1 f T  Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux Le déphasage est la différence de phase à l’origine des signaux étudiés. Il est généralement compris entre et p  p 3 2. Grandeurs électriques en régimes sinusoïdaux (3) | Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Exemples La tension VS est en avance sur la tension VE, le déphasage de VS sur VE est positif. 2 d D p   La tension VS est en retard sur la tension VE, le déphasage de VS sur VE est positif. 2 d D p   4 3. Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales (1) | Rappels mathématiques Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Un nombre complexe écrit dans sa forme cartésienne a pour expression : Avec a la partie réelle et b la partie imaginaire, et j le nombre complexe vérifiant z a jb   2 1 j  Le module de z noté |z| a pour expression : Son argument est défini par : Un nombre complexe écrit sous sa forme polaire a pour expression : 1 j  2 2 z a b     cos et sin =arctan a b b z z a            j z re   avec son module et son argument. 2 2 r z a b    5 3. Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales (2) | Définition Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Soit un signal sinusoïdal d’expression mathématique , on lui associe une grandeur complexe On pourra également définir une amplitude complexe :    j t j t j m m x t X e X e e w f w f      ( ) sin m x t X t w    j m X X e f  On pourra également définir une amplitude complexe : devient: On travaillera donc en notation complexe mais il sera facile de revenir au signal réel : 1. Retour au signal réel complet grâce à la partie imaginaire du complexe : m X X e   x t  j t x t Xe w      Im x t x t  6 3. Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales (3) | Définition Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal 2. Retour à l’amplitude du signal réel grâce au module de l’amplitude complexe ou du signal complexe : 3. Retour à la phase initiale grâce à l’argument de l’amplitude complexe:  m X X x t   3. Retour à la phase initiale grâce à l’argument de l’amplitude complexe:   Arg X f  Propriété Toutes les informations dont nous avons besoin pour reconstituer le signal réel sont contenues dans l’amplitude complexe. 7 3. Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales (4) | Représentation de Fresnel Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal A la grandeur , on associe dans le plan complexe un vecteur de w f   ( ) sin m x t X t w    La représentation de Fresnel d’un nombre complexe, est la représentation géométrique de ce nombre dans un plan cartésien oxy, ox étant l’axe des réels et oy l’axe des imaginaires. A la grandeur , on associe dans le plan complexe un vecteur de longueur XM et dont l’angle avec l’axe horizontal est wt+f   ( ) sin m x t X t w       Im y x t     Re x x t  8 4. Intérêt de la notation complexe | Étude du dipôle RC Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal On étudie le dipôle RC en régime sinusoïdal : un générateur impose aux bornes de ce dipôle la tension   ( ) sin e t E t w    ( ) e t Conclusion La recherche de cette solution sans passer par la notation complexe aurait fait apparaître des calculs trigonométriques compliqués et nous aurions dû dériver. 9 5. Impédance et Admittance complexe (1)| Définitions Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal En régime sinusoïdal, l’impédance d’un dipôle linéaire passif est le rapport de la tension complexe par l’intensité complexe : On définit également l’admittance complexe d’un dipôle, inverse de l’impédance: u Z i  On définit également l’admittance complexe d’un dipôle, inverse de l’impédance: (exprimée en Siemens (S)) Impédances des composants usuels En régime établi sinusoïdal de pulsation w on associe à la tension u(t) aux bornes du dipôles et l’intensité i(t) du courant qui le traverse, respectivement: i Y u   u j j t m u t U e e f w   i j j t m i t I e e f w  10 5. Impédance et Admittance complexe (2)| Résistance Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Pour une résistance, la relation entre u(t) et i(t) s’écrit simplement: soit avec u Ri  R u Z i  R Z R  Remarque L’impédance complexe d’une résistance est réelle, car le courant et la tension sont en phase (f=0) 11 5. Impédance et Admittance complexe (3)| Condensateur Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Pour un condensateur, de capacité C, la relation entre u(t) et i(t) est: Il vient, en régime sinusoïdal et en notation complexe: avec du i C dt  C u Z i  1 C Z jCw  Remarque L’impédance complexe d’un condensateur est un nombre imaginaire: le courant et la tension sont quadrature, précisément (f=-p/2) ( u est en retard de p/2 sur i) 12 5. Impédance et Admittance complexe (4)| Bobine Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Pour une bobine, d’inductance L, la relation entre u(t) et i(t) est: Il vient, en régime sinusoïdal et en notation complexe: avec di u L dt  L u Z i  L Z jLw  Remarque L’impédance complexe d’une bobine est un nombre imaginaire: le courant et la tension sont quadrature, précisément (f=p/2) ( u est en avance de p/2 sur i) 13 6. Association d’impédances (1) | Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Les lois d’association des impédances complexes sont identiques à celles relatives aux résistances en régime stationnaire Association en série Comme les différents dipôles associés en série sont parcourus par le même le courant et que la tension aux bornes du dipôle équivalent est la somme des tensions aux bornes des dipôles qui le composent, on trouve, en notation complexe: des dipôles qui le composent, on trouve, en notation complexe: avec Il en résulte: 1 Z 2 Z n Z I U 1 2 ... n i i i i     1 2 ... n u u u u     1 2 ... n e u u u Z i i i     1 n e k k Z Z   14 6. Association d’impédances (2) | Chapitre 4 : Analyse en régime sinusoïdal Association en parallèle Comme les différents dipôles associés en parallèle sont soumis à la même tension et que le courant qui traverse le dipôle équivalent est la somme des intensités dans chaque dipôle qui le compose, on trouve, en notation complexe: 1 2 ... n i i i i     1 2 ... n u u u u     Il en résulte: 1 Z 2 Z n Z I U 1 2 ... n e i i i Y u u u     1 n e k k Y Y   15 6. Association d’impédances (3) uploads/Management/ chapitre-4-analyse-en-regime-sinusoidal-pdf.pdf