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5 Chapitre Chapitre 5 ■ Statistiques – Probabilités 1 Statistiques- Probabilité

5 Chapitre Chapitre 5 ■ Statistiques – Probabilités 1 Statistiques- Probabilités Corrigé des activités Activité de découverte 1. 22 ducats à l’équipe en avance, 0 ducat à l’équipe en retard. 2. Les deux équipes ont marqué au total 90 points. L’équipe en avance a marqué 50 points, l’équipe en retard a marqué 40 points. 22 50 90 × ≈ 12 ducats à l’équipe en avance. 22 40 90 × ≈ 10 ducats à l’équipe en retard. L'équipe en retard a encore des chances de gagner toute la mise. Choix pédagogiques De nombreux éléments de ce chapitre font partie du socle commun, l’un des objectifs étant de permettre aux futurs citoyens de comprendre les chiffres diffusés par les médias et les limites de certains résultats statistiques. Il s’agit donc de mener une étude mathématique doublée d’une réflexion sur les chiffres proposés et leur inter- prétation. Activité de découverte : Elle permet d’initier une réflexion et une discussion concernant un sujet où il n’y a pas de « bonne » ou de « mauvaise » réponse, l’idée étant de rechercher la solution la plus « juste ». Il est probable que la discussion fera émerger l’idée qu’il faut peut-être trouver une solution qui tienne compte de ce qu’on a déjà acquis et des chances qu’on a de gagner. On pourra alors justifier l’étude de ce chapitre : quels outils mathématiques permettront d’imaginer différentes possibilités ? Parties 1 et 2 : La notion de moyenne (et de moyenne pondérée) est reprise pour insister sur le fait que cette caractéristique, très présente dans les préoccupations scolaires, n’est qu’un élément d’étude d’une série statistique et qu’une même moyenne peut recouvrir des réalités très différentes. L’utilisation de la calculatrice en statistiques est probablement encore balbutiante. Les notions de médiane et d’étendue présentent en général peu de difficultés, celle de quartile s’avère un peu plus délicate. Les exemples choisis présentent volontairement des difficultés limitées, l’objectif étant une compréhension de l’étude de la dispersion d’une série et de ses exploitations, les exemples plus complexes seront ensuite traités avec un tableur. L’exercice 53 permettra de travailler l’incertitude liée à toute mesure. On pourra en parallèle avec le professeur de physique utiliser des mesures réalisées par les élèves pour conforter cette notion. Aucun exercice à partir d’une répartition en classes n’est proposé, les moyens informatiques permettant d’étu- dier une série en en considérant tous les termes. Partie 3 : La notion de probabilité est nouvelle. Les cas où le dénombrement est possible seront assez facilement traités, avec des arbres par exemple. La manipulation de dés (cubes numérotés de façons variées) contribuera à la familiarisation et à la compréhension. La notation p(A) introduit une autre utilisation des parenthèses suscep- tible de présenter quelques difficultés, on pourra l’introduire progressivement pour remplacer une expression. On ne fera pas l’économie de manipulations nécessaires à la compréhension. L’exemple permettant d’intro- duire la détermination de probabilités à partir d’expériences répétées un grand nombre de fois peut se faire en classe, l’objectif de deviner la répartition réalisée par le voisin motivant cette étude. Parties 4 et 5 : L’étude de la probabilité de plusieurs événements risque de poser problème lors de l’utilisation de l’événement contraire avec « et » et « ou », les exemples choisis restent simples dans la mesure où la connaissance du contexte permet de répondre. Dans les exercices, on trouvera des liens entre ces notions nouvelles et le langage courant, le « bon sens populaire » en météo par exemple utilisant largement l’expérience. Il s’agit aussi de lier une interprétation mathématique et des expressions connues. Chapitre 5 ■ Statistiques – Probabilités 2 3. Pour gagner, les deux équipes doivent marquer au total 30 points. L’équipe en avance doit marquer 10 points, l’équipe en retard doit marquer 20 points. L’équipe en avance doit marquer deux fois moins de points que l’équipe en retard ; il est donc logique de lui attribuer deux fois plus de ducats. 22 20 30 × ≈ 15 ducats à l’équipe en avance. 22 10 30 × ≈ 7 ducats à l’équipe en retard. L’équipe en avance pouvait gagner la totalité en un seul tour. 4. On peut prolonger « fictivement » la partie en simulant un tour supplémentaire (solution proposée pour Pascal) : – si l’équipe en retard gagne, c’est match nul et chacune des équipes récupère ses 11 ducats ; – si l’équipe en avance gagne, elle emporte les 22 ducats. Dans les deux cas, l’équipe en avance récupère ses 11 ducats. On peut alors proposer de partager en deux parties égales les 11 ducats de l’équipe en retard. D’où la répartition suivante : – 11 + 5,5 = 16,5 ducats à l’équipe en avance, – 5,5 ducats à l’équipe en retard. 1 Caractéristiques de position A. Situer une valeur dans une série a) Temps (secondes) 41 45 46 47 48 51 52 54 55 56 57 58 59 Effectifs 1 2 4 5 1 1 1 1 2 2 1 1 3 Effectifs cumulés croissants 1 3 7 12 13 14 15 16 18 20 21 22 25 b) Moyenne des temps = 50,76 s. c) D’après la ligne des effectifs cumulés, il y a 12 temps inférieurs à 48 s. Comme il n’y a qu’un seul temps égal à 48 s, et qu’il y a 25 temps en tout, il y a donc aussi 12 temps supérieurs à 48 s. Dimitri a raison. d) Le temps qui partage la classe en deux groupes de même effectif est 48 s. e) La médiane est 12 (2 valeurs inférieures à 12, 2 valeurs supérieures à 12). B. Dans le désordre a) 7 8 8 12 14 15 18 19 21 21 22 23. b) 1er groupe : 7 8 8 12 14 15 ; 2e groupe : 18 19 21 21 22 23. On peut choisir le « milieu » entre les deux groupes, soit : 15 18 2 + = 16,5. c) 221 231 237 238 312 318 358 417 418 425 520. La médiane est la valeur de rang 6, soit 318. C. Avec un tableur a) À la ligne 3, on calcule les effectifs cumulés. b) Voir le fichier C05 Activite 1C (corrigé) dans la rubrique livre du professeur du site : http://www.editions-breal.fr/fiche- http://www.editions-breal.fr/fiche- mathematiques-troisieme-1552.htm mathematiques-troisieme-1552.html. c) L’effectif total étant 80, le demi-effectif est 40. On repère la valeur 40 sur l’axe des effectifs cumulés, et on regarde à quelle valeur de la note elle correspond. La médiane est 12 (40 notes sont inférieures ou égales à 12, et 40 notes sont supérieures ou égales à 12). d) 25 % de 80 = 20. D’après le graphique, c’est la valeur 11 de la note qui sépare la série en un groupe de 25 % en dessous et 75 % au dessus. Le premier quartile est 11. e) 75 % de 80 = 60. D’après le graphique, c’est la valeur 14 de la note qui sépare la série en un groupe de 75 % en dessous et 25 % au dessus. Le troisième quartile est 14. f) Notes 5 6 7 8 9 10 11 12 15 T Effectifs 1 1 4 3 3 3 2 2 1 20 Effectifs cumulés croissants 1 2 6 9 12 15 17 19 20 • 50 % de 20 = 10. La médiane est 9 (10 notes inférieures ou égales à 9, et 10 notes supérieures ou égales à 9). • 25 % de 20 = 5. Le premier quartile est 7 (5 notes inférieures ou égales à 7, et 15 notes supérieures ou égales à 7). • 75 % de 20 = 15. Le troisième quartile est 10 (15 notes inférieures ou égales à 10, et 5 notes supérieures ou égales à 10). Chapitre 5 ■ Statistiques – Probabilités 3 2 Dispersion d’une série A. Comparer des répartitions a) • Moyenne mensuelle : S1 = 71 43 89 64 86 73 80 89 134 47 58 25 12 + + + + + + + + + + + ≈ 71,6 mm. • S1 : 25 43 47 58 64 71 73 80 86 89 89 134. Médiane S1 = 71 73 2 + = 72 mm. • Pour S1 moyenne mensuelle et médiane sont proches l’une de l’autre. b) • Moyenne mensuelle S2 = 47 44 51 38 60 114 88 152 70 14 10 + + + + + + + + + = 67,8 mm. • S2 : 14 38 44 47 51 60 70 88 114 152. Médiane S2 = 51 60 10 + = 55,5 mm. • Pour S2 moyenne mensuelle et médiane sont éloignées l’une de l’autre. c) Pour S1 : 134 − 25 = 109. Pour S2 : 152 − 14 = 138. La série S2 semble la plus dispersée. B. Sans les extrêmes a) S1 devient S'1 : 43 47 58 64 71 73 80 86 89 89. Médiane S1’ = 72 mm. S2 devient S'2 : 38 44 47 51 60 70 88 114. Médiane S2’ = 55,5 mm. uploads/Management/ chap-5-maths-pdf.pdf