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stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problèmes ouverts et/

stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problèmes ouverts et/ou à modéliser au lycée Qu'est ce que c'est ? qu'est ce que la modélisation ? (source: LEMA PROJECT Learning and Education in and through Modelling and Applications) formidable ressource pour modéliser (LEMA : disponible en format word (donc modifiable) sur le site) Table des matières 1. Seconde a) Algèbre - analyse b) Géométrie c) Statistiques et Probabilités 2. Première a) Scientifique • algèbre - analyse • géométrie • probabilité b) Économique et sociale • algèbre - analyse • nombre, pourcentage...etc • statistiques • probabilités • enseignement de spécialité (ES) • Littéraire (spécialité actuelle) 3. Terminale a) Scientifique • probabilités • analyse • géométrie • enseignement de spécialité b) Économique et sociale • analyse • statistiques • probabilités • enseignement de spécialité autre ressources - sources - bibliographie 1/106 stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Seconde programme seconde a) Algèbre - analyse Eduscol, document ressources fonctions Quels sont les objectifs à atteindre ? Comme dans toutes les parties du programme, les paragraphes qui précèdent les tableaux précisant les contenus et les capacités attendues, fixent de façon nette les objectifs à atteindre et les déclinent en termes de nature des problèmes que les élèves doivent savoir résoudre, précisant également le degré d’autonomie attendu. Ces objectifs sont ambitieux, le degré d’autonomie que les élèves doivent montrer pouvant être maximal : autonomie du choix de la démarche, de la nature du traitement à apporter, de la modélisation à mettre en oeuvre. Construire chez tout élève cette autonomie nécessite une formation adaptée incluant une confrontation fréquente à des problèmes posés sous une forme ouverte. Problème 1 (source: document ressources fonctions seconde) Le carré ABCD a un côté de longueur 8 cm. M est un point du segment [AB]. On dessine dans le carré ABCD : - Un carré de côté [AM] - Un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même mesure que le côté [AM] du carré. Trois dessins sont proposés pour trois positions différentes du point M. à partir de cette situation, plusieurs problèmes: – Problème 1: Dans quelle situation as-t-on l'aire du triangle la plus grande ? – Problème 2: Dans quelle situation l'aire du carré est égale à celle du triangle ? – Problème 3: Dans quelle situation l'aire du motif est elle égale à la moitié de celle de ABCD ? – Problème 4: Dans quelle situation as-t-on l'aire du triangle supérieure à la moitié de celle du carré ? – Problème 5: Comment évolue l'aire du motif en fonction de AM ? en fonction de MB ? ...etc Il est possible d'imaginer comme cela un certain nombre de problème. Exploitables également en 1ère S et ES. 2/106 stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problème 2 La trajectoire d'une balle dans l'air est donnée par : f x=–5 x 212 x9 où x est le temps écoulé depuis le lancer, exprimé en secondes, et f xla hauteur de l'objet à l'instant x, exprimé en mètres. Sans questions c'est encore mieux !! Problème 3 ABCD est un parc carré de côté 10 mètres. Il passe un cours d'eau de largeur 1 mètre à travers ce parc, matérialisé par le rectangle EFGH avec AE = 6 mètres. Où franchir le pont pour que le trajet de A à C soit le plus court possible ? Problème 4 On considère un cylindre de hauteur h et dont la base a pour rayon r (en dm). Ce cylindre doit faire 5 gallons. Quelles sont les possibilités ? Problème 5 Un cylindre est formé d'une feuille de papier de longueur a et b telles que a < b. En roulant cette feuille, on peut obtenir deux cylindres. Les volumes de ces cylindres peuvent-ils être égaux ? on peut aller vers : 3/106 0 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 0 3,5 7 0 100 200 300 400 500 600 700 800 700-800 600-700 500-600 400-500 300-400 200-300 100-200 0-100 stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problème 6 Un gardien est charge de la surveillance d'une propriété rectangulaire de 5hm sur 4hm. Il dispose d'un talkie-walkie pour communiquer avec un autre gardien situe a l'intérieur de la propriété. La qualité de la communication dépend de la distance entre les deux gardiens. Le schéma ci dessous illustre cette situation : On note M la position du premier gardien qui se déplace a partir du point A en direction du point B jusqu'à compléter le tour de la propriété. Le point O symbolise le deuxième gardien. Les dimensions sont indiquées sur le dessin. Décrire l'évolution de la distance OM selon la distance parcourue par le gardien. variante avec un triangle et son centre de gravité: ou dans un hexagone: 4/106 stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problème 7 Voici, en gras, le patron d'une boite sans couvercle découpé dans une feuille cartonnée. Objectif 1: Construire à l'aide d'une feuille identique la boite ayant le plus grand volume ! Objectif 2: Construire à l'aide d'une feuille identique la boite la plus légère ! Problème 8 En Mésopotamie, les champs ont la forme de trapèzes. Un arpenteur doit partager équitablement un champ entre deux frères : le champ est un trapèze de bases 7 et 17. Les parts sont deux trapèzes. Trouver la largeur du milieu . 5/106 stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problème 9 ABC est un triangle ; comment choisir P sur [AB], Q sur [AC] et R sur [CB] pour que le périmètre de PQR soit minimum ? Problème 10 ABC est un triangle donné. Soit A’, distinct de A, B et C ; L et M sont les projections orthogonales de A sur (A’B) et (A’C). Où placer A’ pour que la longueur LM soit maximale ? Problème 11 • Une fourmi se déplace le long des arêtes d'un cube. Si elle se rend d'un sommet au sommet opposé sans passer deux fois par le même point, quelle est la longueur maximale de son trajet ? • Une fourmi ( M ) cherche à rejoindre un morceau de sucre ( S ) par le chemin le plus court. (la fourmis trouve toujours le chemin le plus court ! Et vous ?) Problème 12 Quel est le nombre de solution dans ℝ de l’équation cos x= x 200 ? Problème 13 Une équerre ABC est placée de telle sorte que le point A est situé sur l’axe des ordonnées et le point B sur celui des abscisses. On déplace l’équerre en faisant glisser A et B sur les axes. Comment se déplace le point C ? 6/106 stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problème 14 Dans un repère orthonormé, on considère le point P (3;2). Soit Q un point quelconque de l'axe des abscisses. Soit R l'intersection de la droite (PQ) avec l'axe des ordonnées. On note x l'abscisse de Q et y l'ordonnée de P. Étudier la fonction f : x →y Problème 15 On considère un demi cercle C de diamètre [AB], les demi-droite [Ax) et [By) lui sont tangentes. M ∈ [Ax) R=C ∩MB S = (AR) ∩ [By) x = AM y = BS Étudier la fonction f : x →y Problème 16 On considère la fonction g définie sur ℝ\{-2;2} par : g x = 1 2−x  4 2x trouver une fonction paire et une fonction impaire dont g est la somme Problème 17 (académie Aix-Marseille) Un stade est constitué d'une pelouse centrale rectangulaire ABCD, complétée par deux demi-disques de diamètre [AD] et [BC]. Ce terrain est entouré par une piste de course à pied de longueur égale à 400 m. Quelles doivent être les dimensions du rectangle ABCD si l'on veut que son aire soit maximale ? Problème 18 ( académie Aix-Marseille) Pourquoi les batteries de casseroles que l'on trouve dans le commerce sont-elles toutes du même type ? Prenons par exemple la casserole de deux litres. Pourquoi a-t-elle à peu près 9 cm de haut pour un diamètre de 17 cm quelle que soit la marque achetée ? La tôle d'une casserole coûte cher ! Pour minimiser son coût de fabrication, il faut minimiser la quantité de métal utilisée et donc l'aire de la casserole. Comment, pour un volume V donné, trouver la casserole la plus « économique » ? (Une variante du problème précédent est fournie par l'optimisation des dimensions d'une boite de maïs. Pourquoi de maïs ? Les boites de conserve ordinaires, disons de petits pois, n'ont pas des dimensions optimisées. Mais le maïs est conservé sous vide, et requiert donc une tôle plus épaisse que les autres boites. Les industriels ont donc optimisé les dimensions pour réduire le coût.) 7/106 stage résolutions de problèmes et modélisations mars 2011 Problème 19 ABCD est un trapèze rectangle de grande base [AB]. Trouver un point M du segment [AB] tel que [CM] partage le trapèze ABCD en deux parties d'aires égales. Problème 20 ABCD est un trapèze rectangle de bases uploads/Management/ base-problemes-ouverts-lux.pdf