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17MATHSPE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL spécialité Bac blanc n°1 du Lycée Arbez Carme -

17MATHSPE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL spécialité Bac blanc n°1 du Lycée Arbez Carme - Bellignat Session 2017 MATHÉMATIQUES - Série S - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l’épreuve : 4 heures Coefﬁcient : 9 Les calculatrices éléctroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer claire- ment sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1 à 5 1 EXERCICE 1 4,5 points On considère la fonction f déﬁnie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = xe−x −0,1 1. Déterminer la limite de f en +∞. 2. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations. 3. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée α sur l’intervalle [0 ; 1]. On admet l’existence du nombre réel strictement positif β tel que α < β et f (β) = 0. On note C la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [α ; β] dans un repère orthogonal et C ′ la courbe symétrique de C par rapport à l’axe des abscisses. L’unité sur chaque axe représente 5 mètres. Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif ﬂoral en forme de ﬂamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes. x y 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 −0,3 −0,2 −0,1 0 0,1 0,2 0,3 C C ′ 4. Démontrer que la fonction F, déﬁnie sur l’intervalle [α ; β] par F(x) = −(x +1)e−x −0,1x est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [α ; β]. 5. Calculer, en unités d’aire, une valeur arrondie à 0,01 près de l’aire du domaine compris entre les courbes C et C ′. On utilisera les valeurs arrondies à 0,001 près suivantes : α ≈0,112 et β ≈3,577. 6. Sachant que l’on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif. Tourner la page → 2 EXERCICE 2 5 points Une entreprise fait fabriquer des paires de skis auprès de trois fournisseurs F1, F2, F3. Dans l’entreprise, toutes ces paires de skis sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de skis est fabriquée par le fournisseur F1, le tiers par le fournisseur F2 et le reste par le fournisseur F3. Une étude statistique a montré que • 5 % des paires de skis fabriquées par le fournisseur F1 ont un défaut ; • 1,5 % des paires de skis fabriquées par le fournisseur F2 ont un défaut ; • sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de skis ont un défaut. 1. On prélève au hasard une paire de skis dans le stock de l’entreprise. On considère les événements F1, F2, F3 et D suivants : • F1 : « La paire de skis prélevée est fabriquée par le fournisseur F1 » ; • F2 : « La paire de skis prélevée est fabriquée par le fournisseur F2 » ; • F3 : « La paire de skis prélevée est fabriquée par le fournisseur F3 » ; • D : « La paire de skis prélevée présente un défaut ». a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les événements pré- cédents. Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience. b. Calculer la probabilité qu’une paire de skis prélevée soit fabriquée par le fournisseur F1 et présente un défaut. c. Calculer la probabilité de l’événement F2 ∩D. d. En déduire la probabilité de l’événement F3 ∩D. e. Sachant que la paire de skis prélevée est fabriquée par le fournisseur F3, quelle est la proba- bilité qu’elle présente un défaut ? 2. L’entreprise conditionne les paires de skis par lots de six paires. On considère que le stock est sufﬁsamment grand pour assimiler le choix des six paires de skis à des tirages indépendants, successifs avec remise. a. Calculer la probabilité que deux paires de skis exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième. b. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’au moins deux paires de skis d’un lot pré- sentent un défaut. Tourner la page → 3 EXERCICE 3 6 points On considère la suite (un) déﬁnie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = p 2un 1. On considère l’algorithme suivant : Variables : n est un entier naturel u est un réel positif Initialisation : Demander la valeur de n Affecter à u la valeur 1 Traitement : Pour i variant de 1 à n : | Affecter à u la valeur p 2u Fin de Pour Sortie : Afﬁcher u a. Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’afﬁche cet algorithme lorsque l’on choisit n = 3. b. Que permet de calculer cet algorithme ? c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n. n 1 5 10 15 20 Valeur afﬁchée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999 Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un) ? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,0 < un ⩽2. b. Déterminer le sens de variation de la suite (un). c. Démontrer que la suite (un) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite. 3. On considère la suite (vn) déﬁnie, pour tout entier naturel n, par vn = lnun −ln2. a. Démontrer que la suite (vn) est la suite géométrique de raison 1 2 et de premier terme v0 = −ln2. b. Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n. c. Déterminer la limite de la suite (un). d. Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afﬁcher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1,999. Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 1 Traitement : Sortie : Tourner la page → 4 EXERCICE 4 4,5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Cet exercice est à faire sur une copie séparée. Partie A : Matrices On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux. Pour tout entier naturel n , on note jn le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et an le nombre d’animaux adultes après n années d’observation. Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi j0 = 200 et a0 = 500. On admet que, pour tout entier naturel n, on a : ½ jn+1 = 0,125jn +0,525an an+1 = 0,625jn +0,625an On introduit les matrices suivantes : A = µ0,125 0,525 0,625 0,625 ¶ et, pour tout entier naturel n, Un = µ jn an ¶ 1. On admet que, pour tout entier naturel n non nul , Un+1 = A ×Un. a. Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation (les résultats seront arrondis à l’unité près par défaut). b. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n non nul, Un = An ×U0. 2. On introduit les matrices suivantes : Q = µ 7 3 −5 5 ¶ et D = µ−0,25 0 0 1 ¶ . a. On admet que la matrice Q est inversible et que Q−1 = µ0,1 −0,06 0,1 0,14 ¶ . Montrer, en détaillant vos calculs, que Q ×D ×Q−1 = A. b. Montrer, par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n non nul, An = Q ×Dn ×Q−1. c. Pour tout entier naturel n non nul, déterminer Dn en fonction de n. 3. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, An = µ0,3+0,7×(−0,25)n 0,42−0,42×(−0,25)n 0,5−0,5×(−0,25)n 0,7+0,3×(−0,25)n ¶ a. En déduire les expressions de jn et an en fonction de n et déterminer les limites de ces deux suites. b. Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ? Partie B : Arithmétique 1. a. Déterminer, selon les valeurs de n, les restes possibles dans la division euclidienne de 2n par 7. b. En déduire le reste de la division par 7 de 20112014. 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels (x ; y) tels que : ½ pgcd(x,y) = 6 xy = 432 5 17MATHOBL BACCALAURÉAT GÉNÉRAL obligatoire Bac blanc n°1 du Lycée Arbez Carme - Bellignat Session 2017 MATHÉMATIQUES - Série S - ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l’épreuve : 4 heures Coefﬁcient : 7 uploads/Management/ bacs-mathematiques-2017.pdf