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Cours I : Introduction à l’Analyse Numérique License Sciences des Données 2 Lou

Cours I : Introduction à l’Analyse Numérique License Sciences des Données 2 Loubna Salhi Année académique 2020-2021 Plan du cours I. Motivations II. Représentation des réels sur ordinateur - Représentation binaire - Calculs aux virgules ﬂottantes III. Mesure de l’erreur dans le calcul numérique - Erreur relative, Erreur d’arrondi Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 2 / 25 I. Motivations L’analyse numérique est la discipline qui permet de simuler des phénomènes complexes et représentatifs de la réalité. L’objectif est de reproduire sur un ordinateur cette réalité avec un niveau de précision poussé aﬁn de créer un modèle dont l’exploitation pourrait fournir une solution approximatif mais pragmatique. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 3 / 25 I. Motivations L’analyse numérique est la discipline qui permet de simuler des phénomènes complexes et représentatifs de la réalité. L’objectif est de reproduire sur un ordinateur cette réalité avec un niveau de précision poussé aﬁn de créer un modèle dont l’exploitation pourrait fournir une solution approximatif mais pragmatique. Exemples d’application de l’analyse numérique : - L’environnement: prévision des risques naturels. - L’hydrogéologie: prévision de contamination des eaux. - La météorologie: simulation du climat. - Les installation industrielles: Contrôle de paramètres. - En Biologie et médecine : évolution des épidémies. - · · · Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 3 / 25 I. Motivations Pourquoi a t-on besoin de l’analyse numérique ? Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 4 / 25 I. Motivations Pourquoi a t-on besoin de l’analyse numérique ? Exemple 1: Oscillation d’un pendule linéaire - Équation : ( θ′′(t) + g Lsin(θ(t)) = 0, θ(0) = θ0, θ′(0) = θ1 - Solution exacte ? Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 4 / 25 I. Motivations Pourquoi a t-on besoin de l’analyse numérique ? Exemple 1: Oscillation d’un pendule linéaire - Équation : ( θ′′(t) + g Lsin(θ(t)) = 0, θ(0) = θ0, θ′(0) = θ1 - Solution exacte ? - Solution approximative pour θ ≪1 : sin(θ(t)) ≈θ(t)        θ′′(t) + g Lθ(t) = 0, θ(t) = θ0cos( r g Lt) + s L gθ1sin( r g Lt) - On a recours à une approximation numérique de la solution ! Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 4 / 25 I. Motivations Exemple 2: Intégrale de Gauss Z 3 1 e−x2dx La fonction x 7→e−x2 est continue sur [1, 3], donc intégrable. Peut-on calculer cette intégrale d’une manière exacte ? Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 5 / 25 I. Motivations Exemple 2: Intégrale de Gauss Z 3 1 e−x2dx La fonction x 7→e−x2 est continue sur [1, 3], donc intégrable. Peut-on calculer cette intégrale d’une manière exacte ? Exemple 3: Équation non linéaire (E) : x3 −2x −5 = 0 Posons : f (x) = x3 −2x −5, f (2) = −1 < 0 , f (3) = 16 > 0. Théorème des valeurs intermédiaires: ∃x ∈]2, 3[ tel que f (x) = 0. Peut-on calculer la solution exacte de (E) ? Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 5 / 25 I. Motivations De la modélisation mathématique à la simulation numérique Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 6 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Un peu d’histoire ... Depuis des milliers d’années, la plupart des sociétés ont créé des outils servant à calculer en utilisent la main, d’où le système de numération utilisant la base 10 ou bien le système décimal. Le Boulier: un des plus anciens instruments mécaniques d’aide au calcul de l’histoire de l’humanité. La Pascaline: première calculatrice mécanique inventée par Blaise Pascal en 1642. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 7 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Système de numérotation décimale L’écriture des nombres s’effectue toujours en précisant les symboles utilisés (alphabet) et les règles d’association de ces symboles. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 8 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Système de numérotation décimale L’écriture des nombres s’effectue toujours en précisant les symboles utilisés (alphabet) et les règles d’association de ces symboles. Dans le système de numération décimale, l’alphabet est constitué de dix symboles : Les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 8 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Système de numérotation décimale L’écriture des nombres s’effectue toujours en précisant les symboles utilisés (alphabet) et les règles d’association de ces symboles. Dans le système de numération décimale, l’alphabet est constitué de dix symboles : Les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Exemple: Le nombre deux cent cinq s’écrit en base décimal 205 ou (205)10: 205 = 2 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100 Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 8 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Système de numérotation décimale L’écriture des nombres s’effectue toujours en précisant les symboles utilisés (alphabet) et les règles d’association de ces symboles. Dans le système de numération décimale, l’alphabet est constitué de dix symboles : Les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Exemple: Le nombre deux cent cinq s’écrit en base décimal 205 ou (205)10: 205 = 2 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100 Le système décimal convient parfaitement aux humains, mais moins pour les ordinateurs. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 8 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Pourquoi le décimal ne convient pas aux ordinateurs ? Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 9 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Pourquoi le décimal ne convient pas aux ordinateurs ? Les ordinateurs sont des machines électroniques dont les composants de base sont les transistors. Un transistor est un composant électronique qui permet le passage ou non d’un courant électrique, et ainsi de distinguer et représenter deux états. Par convention on note ces deux états par 1 ou 0 selon que le courant passe ou pas. Les ordinateurs mémorisent les nombres sous forme de ces deux états (0 ou 1). ⇒Le système binaire convient mieux aux ordinateurs. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 9 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Dans le système de numération binaire, l’alphabet est constitué de deux chiffres : 0 et 1. Exemple: Le nombre décimal 205 s’écrit en base binaire: 11001101 = 1×27 +1×26 +0×25 +0×24 +1×23 +1×22 +0×21 +1×20 Les chiffres binaires 0 et 1 sont appelés bits (binary digit). Un octet est un nombre qui correspond en binaire à 8 bits. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 10 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Dans le système de numération binaire, l’alphabet est constitué de deux chiffres : 0 et 1. Exemple: Le nombre décimal 205 s’écrit en base binaire: 11001101 = 1×27 +1×26 +0×25 +0×24 +1×23 +1×22 +0×21 +1×20 Les chiffres binaires 0 et 1 sont appelés bits (binary digit). Un octet est un nombre qui correspond en binaire à 8 bits. Dans un ordinateur, les nombres entiers sont codés dans une séquence de N bits (en général 32 bits). La première case est reservée pour le signe: 0 si le nombre est positif 1 si e nombre est négatif Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 10 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Tout nombre entier admet une unique décomposition en somme de puissances de 2. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 11 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Tout nombre entier admet une unique décomposition en somme de puissances de 2. Le plus grand entier positif codé sur N bits est = 1.2N−2 + 1.2N−3 + · · · + 1.20 = 2N−1 −1 Les entiers relatifs codés sur N bits ont pour valeur dans [−(2N−1 −1), 2N−1 −1]. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 11 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Tout nombre entier admet une unique décomposition en somme de puissances de 2. Le plus grand entier positif codé sur N bits est = 1.2N−2 + 1.2N−3 + · · · + 1.20 = 2N−1 −1 Les entiers relatifs codés sur N bits ont pour valeur dans [−(2N−1 −1), 2N−1 −1]. Exemple 1: Les entiers codés sur 16 bits ( simple précision) sont compris entre −(215 −1) et 215 −1. Exemple 2: Les entiers codés sur 32 bits ( double précision) sont compris entre −(231 −1) et 231 −1. Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 11 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Un nombre entier n peut être représenté d’une manière exacte sur N bits tant que : −M ≤n ≤M avec M = 2N−1 −1 Introduction à l’Analyse Numérique· LSD 2· 2020-2021 12 / 25 Représentation des réels sur ordinateur Représentation binaire Un nombre entier n peut être représenté d’une manière exacte sur N bits tant que : −M uploads/Management/ analyse-numerique-lsd2.pdf